Homéomorphisme entre deux espaces métriques

Par exemple, $X=Y=\R^2$ munis de la distance usuelle et $\phi(x,y)=(2x,y)$.

On peut faire un peu plus tordu en envoyant une boule sur une partie non convexe. Par exemple, on peut poser en identifiant $\R^2$ à $\C$, pour $\rho\in\R^+$ et $\theta\in\R$, \[f\bigl(\rho\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\bigr)=\frac{\rho}{2+\cos4\theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\](en particulier $f(0)=0$). Voici à gauche le cercle unité (en noir) et son image (en bleu) et à droite, l'image réciproque du cercle unité (en noir) et le cercle unité (en bleu). On en déduit la forme des boules, de leurs images et de leurs images réciproques.