Homéomorphisme et point adhérent

iotala · March 2022

Bonjour

Je souhaite redémontrer toutes les propriétés d'un homéomorphisme $f : X \to Y$ sur 2 espaces métriques $(X,d)$ et $(Y,\delta)$. J'ai déjà prouvé que $f$ est une application ouverte et fermée et que si $V$ est un voisinage de $x$ alors $f(V)$ est un voisinage de $f(x)$.

À présent je dois montrer que si $x$ est adhérent à une partie $A$ de $X$ alors $f(x)$ est adhérent à $f(A)$.

Je ne suis pas satisfait de ma preuve, j'ai l'impression que la conclusion est trop rapide, qu'en pensez-vous ?

Soit $x$ un point adhérent à $A$, avec $A \subset X$. Pour tout voisinage $V$ de $x$, $V\cap A \neq \emptyset $ et $f(V)$ est un voisinage de $f(x)$.

Soit $x'$ un point de $V \cap A$, il vient alors $f(x') \in A$ et $ f(x') \in f(V)$ d'où $f(V) \cap f(A) \neq \emptyset$.

On en déduit $f(x)$ est adhérent à $f(A)$.

[En $\LaTeX$, ce sont toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$. ;-) AD]

raoul.S · March 2022

Ce qu'il faut montrer c'est que pour tout voisinage $W$ de $f(x)$, $W\cap f(A)\neq \emptyset$.

Dans ta preuve tu ne prends pas un voisinage $W$ quelconque, tu prends un voisinage de la forme $f(V)$ (image d'un voisinage $V$ de $x$). Or tu peux faire ça car $f$ est un homéomorphisme par hypothèse, et donc tous les voisinages de $f(x)$ sont de la forme $f(V)$ pour $V$ un voisinage de $x$. Mais ce n'est pas élégant.

En effet, la proposition est vraie sans l'hypothèse que $f$ est un homéomorphisme, $f$ continue suffit.

Ce qu'il faudrait faire c'est prendre un voisinage $W$ quelconque de $f(x)$ et montrer que $W\cap f(A)\neq \emptyset$ en utilisant juste la continuité de $f$.

Remarque : dans le cas des espaces métriques tu peux le démontrer avec les suites également.

Homéomorphisme et point adhérent

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