Géométrie de terminale en 1966

Simeon-urbain · March 2022

Bonjour,
je voudrais savoir si ce texte est cohérent.
Merci d'avance. S_U (C est la deuxième bissectrice des axes, C'= D'= cercle de diamètre OA )

Prenez soin de vous.

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Chaurien · March 2022

Si $D'$ était le cercle de diamètre $OA$, on aurait $M'A$ orthogonal à $M'O$, donc parallèle à $MO$, ce qui ne me semble pas possible.

Je n'ai pas tout regardé, et je n'ai pas encore trouvé d'incohérence. Il faudrait préciser la question.

Chaurien · March 2022

Ah oui, je n'avais pas lu assez loin. Dans la question 4, le point $M$ décrit comme tu dis la seconde bissectrice des axes, et à mon avis son image $M'$ décrit la première bissectrice. Je ne vois pas où l'énoncé veut en venir.

J'ai regardé dans l'annale Vuibert de 1966, Bordeaux, et c'est le même texte. Mystère...

cailloux · March 2022

Bonjour,

En 4) les équations paramétriques de $C$ me semblent bizarres. Il ne s'agit probablement pas de la droite d'équation $y=-x$.

Il manque peut-être un carré ?

Chaurien · March 2022

Oui, à mon avis, au pif, $C$ et $C'$ sont probablement des cercles, puisqu'on cherche leurs tangentes communes à la fin, en tout cas pas des droites. Il faudrait restituer la bonne équation paramétrique de $C$ : devinette...

cailloux · March 2022

L'exercice devient cohérent avec en 4) : $$\begin{cases}x=-at^2\\y=at\end{cases}$$

Soit une parabole transformée en une ellipse homothétique de la précédente.

Simeon-urbain · March 2022

Bonjour,
merci à tous de vos remarques, je n'avais pas oser, mais $x=-at^2$ est judicieux.
Je recommence l'exo avec cette remarque (pauvres élèves de 1966.
Bonne journée à tous, à plus. Simeon. Prenez soin de vous.

pappus · March 2022

Bonjour à tous
Il est amusant de constater que la transformation ponctuelle $T$ qu'on demandait d'étudier était une transformation quadratique.
Voilà qui devrait faire plaisir à Pierre!
On avait pas froid aux yeux en 1966!
Amicalement
pappus

cailloux · March 2022

Bonjour

Quadratique, je ne sais pas mais par construction, $T$ est une involution (confirmé pat les formules de transformation).

pappus · March 2022

Mon cher Cailloux
C’est une transformation quadratique!
Il suffit d’écrire les formules pour en être convaincu!
L’as-tu fait?
Amitiés
pappus

Chaurien · March 2022

J'avais mal deviné, ce n'était pas $C$ comme cercle mais $C$ comme courbe. Maintenant je n'aime pas trop cette transformation, qui n'est définie que sur le plan privé d'un cercle, sauf à passer dans le projectif.

Je ne dirais pas : « pauvres élèves de 1966 » car l'énoncé est bien découpé. C'est un énoncé pour un baccalauréat de mathématiques qui ait un sens, et pour que ceux qui l'ont réussi aient le sentiment d'avoir effectivement réussi quelque chose qui n'était pas bradé à tout le monde. Je dirais plutôt : « pauvres de nous ».

Ce qui est curieux c'est cette erreur d'énoncé, non corrigée depuis bientôt soixante ans ! Il serait intéressant de connaître l'histoire de cette erreur. Il faudrait signaler à l'APMEP la correction découverte par Cailloux, pour qu'elle la donne dans son édition des énoncés.

Bonne journée.

Fr. Ch.

cailloux · March 2022

Bonjour pappus,

Oui, je l'avais fait :

$\begin{cases}x'=\dfrac{ay^2}{x^2+y^2-ax}\\y'=-\dfrac{axy}{x^2+y^2-ax}\end{cases}$

Mais je ne sais pas trop à quoi correspond une "transformation quadratique".

Amicalement.

cailloux · March 2022

Bonjour Chaurien

Notre ami Jean-Eric pourrait aussi rectifier dans sa compilation de sujets de Bac (où d'autres erreurs de frappe se sont glissées).

Chaurien · March 2022

Je trouve ça aussi. Le caractère involutif de la transformation doit être assez pénible à établir avec les équations, alors qu'il est géométriquement évident.

Chaurien · March 2022

Oui, pour « transformation quadratique », il faudrait compulser les vieux grimoires. On peut arranger un peu ces formules en transportant l'origine au centre du cercle interdit, le point $B( \frac a2,0)$, mais je ne trouve rien de bien concluant

pappus · March 2022

Mon cher Cailloux
En coordonnées homogènes, la transformation $T$ s'écrit:
$$(x:y:t)\mapsto (ay^2:-axy:x^2+y^2-axt)$$
On a bien affaire dans le membre de droite à des formes quadratiques en $(x,y,t)$.
Amicalement
pappus

gai requin · March 2022

Et $T$ écrite comme ça est définie partout sauf en $(0:0:1)$ et $(a:0:1)$.

Exercice : Montrer que la restriction de $T$ à $\mathcal C:x^2+y^2=axt$ peut être définie sur tout $\mathcal C$ et induit une bijection de $\mathcal C$ dans la droite de l'infini.

cailloux · May 2022

Bonsoir à tous

Je ne suis pas très rapide : je n'ai signalé qu'aujourd'hui l'erreur sur ce sujet.

Par contre, Denis Vergès est extrêmement réactif : vous pouvez le constater sur le site de l'APMEP ici : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Bordeaux_juin_1966_DV.pdf

Merci à lui.

Simeon-urbain · November 2022

Bonjour, voici un texte qui m'interroge.
T est involutive x'=ay^2/(x^2+y^2-ax) et y'=-axy/(x^2+y^2-ax). Je ne sais pas justifier D' (un cercle il me semble ?)
Question4: est-elle utile ??
Merci de vos aides. bonne journée à tous. Simeon

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/61/t1yitqbrex92.png

john_john · November 2022

Bonjour, Siméon,
pour $M\neq A$, le point $M'$ est à l'intersection de la droite $AM$ et de la perpendiculaire en $O$ à $OM$. Ce point n'est donc pas défini lorsque $OM$ et $AM$ sont orthogonales, càd lorsque $M$ appartient au cercle de diamètre $OA$. C'est bien le cercle dont les points annulent le dénominateur de tes expressions donnant $x'$ et $y'$ en fonction de $(x,y)$.
Lorsque $M=A$, tout point $M'$ de l'axe des $y$ convient.

cailloux · November 2022

Bonjour à tous,

La question 4) "utile" ?

Elle comporte une erreur corrigée dans ce fil : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2329481/geometrie-de-terminale-en-1966

Fil où tu aurais d'ailleurs pu continuer la discussion.

Simeon-urbain · November 2022

Bonjour tous,
mille mercis, je ne pensais pas susciter autant de remarques et d'aide.
merci prenez soin de vous. S_U
pardon si je me répète.

Simeon-urbain · November 2022

nouvelle question: quelle est la nature de D'? si vous avez le temps
Encore merci, (je vais revoir les transformations quadratiques).

john_john · November 2022

Si $F$ désigne l'application (involutive !) qui à $x,y$ associe $x',y'$, alors $M\in D'\iff F(M')\in D\iff M'$ satisfait à $Y^2=2(X^2+Y^2-aX)$ (équation d'une ellipse, forcément non vide puisque c'est $F(D)$).

cailloux · November 2022

Bonsoir Simeon-urbain,

J'ai beaucoup de mal à te suivre.

Dans un premier temps, il y a environ 6 mois, tu postes ce sujet de bac en t'interrogeant, à juste titre, sur sa validité en particulier sur la question 4).

On te répond ici même en signalant que l'énoncé comporte une erreur en 4), erreur validée et corrigée par Denis Vergès sur son site de l'APMEP.

Sur ce, 6 mois plus tard, tu repostes le même sujet toujours avec cette erreur.

Pire : tu poses la question, je cite : "la question 4) est-elle utile ?"

Avoue qu'il y a de quoi y perdre son latin ...

Pour ceux, en particulier john-john, qui peuvent se poser des questions : suite à mon message de 14h42 aujourd'hui, AD qui voit tout (et pas seulement les fautes d’orthographe) a réuni les deux fils. Inutile de dire que je n'ai fait aucun signalement; ce n'est pas mon genre dans ces circonstances.

Je disais que j'avais beaucoup de mal à te suivre ; je vois maintenant "nouvelle question : quelle est la nature de D ?"

et l'énoncé nous dit : 3. On suppose que $M$ décrit la droite $D$ dont l'équation est $x=2a$.

Un dernier mot : nous sommes en "mathélem". Bien qu'elles aient leur intérêt, il est tout à fait inutile de "revoir les transformations quadratiques".

[Edit] je n'avais pas vu le dernier message de john-john et ma vue étant ce qu'elle est, je n'avais pas vu non plus le prime de $ D'$. Désolé.

john_john · November 2022

Cailloux : j'ai cru très longtemps moi aussi que c'était $D$ et non pas $D'$ ; cela dit, mes réponses font peut-être double emploi avec celles du message initial, dont j'ignorais l'existence.

cailloux · November 2022

Pas du tout john-john, bonsoir :

On parle d'involution depuis le début sur ce(s) fil(s). J'avais laborieusement calculé l'équation de l'ellipse $D'$ il y a 6 mois.

Mais l'exploitation tout à fait extraordinaire pour moi du caractère involutif de $T$ te revient.

Qui plus est : compréhensible en terminale.

Il n'y a bien sûr pas de "double emploi" !

Simeon-urbain · 5 Mar

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cailloux · 5 Mar

Bonsoir,
Tu exagères : combien de fois vas-tu ressortir ce sujet ? https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2329481/geometrie-de-terminale-en-1966
Et toujours avec la même erreur, erreur corrigée par Denis Vergès ! (voir le lien dans le lien)

Simeon-urbain · 6 Mar

Bonjour,
merci à tous, mille excuses (+une à Cailloux) je ne me souvenais pas d'avoir posé ce sujet (trop vieux ,mémoire faible) ;
merci à tous je ne recommencerai pas. prenez soin de vous
S_U

cailloux · 6 Mar

Bonjour,
Pour la question 3. relative à l'ellipse $D'$, j'espère que tu as remarqué la réponse de john_john en novembre 2022. (On peut obtenir une équation cartésienne de l'ellipse $C'$ de la même manière).
Pour la 4. on en revient à l'erreur d'énoncé repérée plus haut.
Pratiquement tous les résultats sont indiqués sur la figure de mars 2022.

Simeon-urbain · 7 Mar

Bonjour,
j'ai honte de vous avoir ennuyé, je crois dominer ce problème.

merci de votre indulgence. bonne journée. S_U

cailloux · 12 Mar

Bonjour à tous,

Je reviens sur ce fil pour cause d'incompréhension suite à celui-ci : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2337071/votre-avis-pour-un-calcul-relatif-a-une-transformation-du-plan#latest où @pappus a écrit :

... la transformation $M\mapsto M'$ devrait être quadratique donc involutive, ...
J'ai fait quelques suppositions : dans un repère $(O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ un point $m$ a pour coordonnées $(x,y)$.
Autrement dit $\overrightarrow{Om}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$.
Dans le repère barycentrique $(A,B,O)$, $m\simeq (x\,:\,y\,:\,1-x-y)$
Mais voilà :

pappus a dit :

En coordonnées homogènes, la transformation $T$ s'écrit : $(x:y:t)\mapsto (ay^2:-axy:x^2+y^2-axt).$
On a bien affaire dans le membre de droite à des formes quadratiques en $(x,y,t)$.

Je dois être à l'ouest, mais je ne comprends pas d'où sort le $-axt$
Merci de m'avoir lu.

pappus · 12 Mar

Mon cher Cailloux
C'est tout le problème du passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées homogènes et réciproquement ou comment faire pour rajouter concrètement une droite à l'infini au plan affine pour qu'il devienne un plan projectif.
Je suis trop fatigué mentalement et physiquement pour t'aider.
Regarde peut-être le livre de Sidler qu'on peut trouver en ligne ou bien celui de john_john qui n'est pas donné.
Amitiés
pappus

PS.
Il n'y a pas que les coordonnées barycentriques dans la vie !

Géométrie de terminale en 1966

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