Démonstration d'une somme

La formule de la ligne 4 est fausse, il doit y avoir un $\cot( \pi x).$

$S_0$ , c'est la somme des $f(n)=\dfrac{1}{(3n)^2-2^2}$ pour tous les $n$ impairs.

Le corrigé introduit ensuite 2 autres sommes : 
$S =$ la somme des $f(n)$ pour tous les entiers
$S_e =$ la somme des $f(n)$ pour tous les entiers pairs.
Et $S_0=S-S_e$

Et dans l'expression de $S_e$, comme on s'intéresse à tous les $n$ pairs, on fait un changement de variable $n=2k$,  et on a donc une somme sur tous les entiers k, pairs ou impairs.
Ici, je n'utilise pas la même lettre ($n$ puis $k$) ; eux réutilisent $n$ de bout en bout. Mais c'est une lettre muette, ils ont le droit.

@Pavel Gorofsky, c'est pas de l'algèbre ta question. Il faut faire attention à poster dans les rubriques appropriées et à donner des titres cohérents, en effet "Démonstration d'une somme" n'a pas vraiment de sens.
Sinon, bon courage.

P.S. Les questions "devoirs maison" devraient être posées en "enseignement et pédagogie".