Subdivision centrale 2015

Les hypothèses sur $f$, qu'impliquent-elles sur $F:x\in[a,b]\mapsto \displaystyle\int_a^x\!\! f(t)\text{d}t$ ?
La question 1, comment se réécrit-elle en utilisant $F$? Que vaut $a_0$? 

Il y a du $i/n$ donc ça fait penser aux sommes de Riemann.

A priori, tu ne sais pas jouer aux échecs. C'est certain.
Aux échecs, il y a un type de jeu, en parties très rapides (le Blitz). Imaginons une partie, avec une position un peu compliqué. Le bon joueur va parfois trouver à un moment un coup très efficace, et surtout totalement inattendu. Sans réellement réfléchir, le rythme de jeu ne permet pas de réfléchir plus de 4 ou 5 secondes à chaque coup.
Comment il devine ce bon coup, ça ne s'explique pas. Il pourra l'expliquer pendant des heures à un joueur débutant, le débutant ne saura pas le reproduire s'il a la même situation dans une partie. 
Et le joueur doué (mais pas forcément brillant), il n'a pas besoin qu'on lui explique. Il n'aurait pas trouvé de lui même ce bon coup, mais après avoir vu un champion le faire, il est maintenant capable de le reproduire, de l'adapter à des situations similaires. Sans avoir besoin qu'on lui explique quoi que ce soit.

Comment les bons élèves trouvent les idées pour faire les exercices difficiles. Ben, parce qu'ils sont bons, tout simplement. Ils ont le petit don que tout le monde n'a pas. Si tout le monde avait les mêmes capacités en maths, ça se saurait !
En tant que prof, tu l'as déjà dit toi-même, tu avais l'année dernière des élèves que tu trouvais très doués, et d'autres beaucoup moins doués.

Vous êtes en train de lui dire : cherche par toi-même, sans lire le corrigé.
Mais vous savez très bien qu'en cherchant par lui-même, il ne trouvera jamais rien.
Quand il cherche des exercices de lycée compliqués (concours général), il ne trouve rien. Même avec le corrigé, il ne comprend pas.
Comme dit Deschamps, il faut des bases solides pour attaquer les classes prépas. Et les bases solides ne sont pas là. Point final.
Donc le bouquin d'exercice de M', qu'il l'offre à un étudiant concerné, c'est ce qu'il peut faire de mieux.

Voici un exercice dans le même style, avec des sommes de Riemann basées sur des subdivisions non régulières. Je mets mon corrigé directement après, c'est juste pour l'information d' @OShine.

Soit $f:[0,a]\rightarrow[0,b]$, continue strictement croissante, surjective. Soit $g=f^{-1}$.

1) Montrer l'égalité : $ab=\displaystyle\int_0^a f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_0^bg(x)\,\text{d}x$

2) Montrer que, pour $u\in[0,a]$ et $v\in[0,b]$ : $uv\le\displaystyle\int_{0}^{u}f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{v}g(x)\,\text{d}x$

3) Interprétations graphiques?

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1) Posons $x_k=\dfrac{ka}{n},\;y_k=f(x_k)$, pour $0\le k\le n$.

Les $x_k$ forment une subdivision régulière $\sigma$ de $[0,a]$.

La fonction $f$ étant croissante, les $y_k$ forment une subdivision (quelconque) de $[0,b]$.

On considère les sommes de Riemann : $S_n=\dfrac an \displaystyle\sum_{k=1}^n f(x_k),\ S'_n= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(y_{k+1}-y_{k})g(y_k)$

Lorsque $n\rightarrow+\infty$, $S_n$ tend vers $\displaystyle\int_  0^{a}f(x)\,\text{d}x$.

La fonction $f$ est continue sur le segment $[0,1]$. Elle y est donc uniformément continue (Théorème de Heine).

Le "pas" de la subdivision $\sigma'$ tend donc vers $0$ lorsque $n\rightarrow+\infty$.

Ainsi $S'_n\to\displaystyle\int_{0}^{b}g(x)\,\text{d}x$ quand $n\rightarrow+\infty$.

D'autre part : $$\begin{array}{l}S_n+S'_n=\dfrac an \displaystyle\sum_{k=1}^n y_k+ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(y_{k+1}-y_{k})x_k\\\quad=\dfrac an \displaystyle\sum_{k=1}^n y_k+ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x_ky_{k+1}- \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x_ky_k\\\quad=\dfrac an \displaystyle\sum_{k=1}^n y_k+ \displaystyle\sum_{k=1}^nx_{k-1}y_k- \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x_ky_k\\\quad= \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\Bigl(\underbrace{\dfrac an-x_k+x_{k-1}}_{=0}\Bigr)y_k+\Bigl(\dfrac an+x_{n-1}\Bigr)b\\\quad=ab\end{array}$$Quand $n\rightarrow\infty$, l'égalité $S_n+S'_n=ab$ donne : $\displaystyle\int_{0}^a f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^b g(x)\,\text{d}x=ab$

2) On se donne $u\in[0,a]$ et $v\in[0,b]$.

D'après ce qui précède, on a : $\displaystyle\int_{0}^{u} f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{f(u)}g(x)\,\text{d}x=uf(u)$. Ainsi : $$\begin{array}{l}\displaystyle\int_{0}^{u} f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{v} g(x)\,\text{d}x-uv\\\quad=\displaystyle\int_{0}^{u} f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{f(u)}g(x)\,\text{d}x\\\qquad+\displaystyle\int_{f(u)}^{v}g(x)\,\text{d}x-uv\\\quad=u(f(u)-v)+\displaystyle\int_{f(u)}^{v}g(x)\,\text{d}x\\\quad=\displaystyle\int_{f(u)}^{v}\bigl(g(x)-u\bigr)\,\text{d}x\end{array}$$Rappelons que $g$, tout comme $f$, est croissante :

Si $f(u)\le v$, $u\le g(x)\le g(v)$ sur $[f(u),v]$. Si $v\le f(u)$, $g(v)\le g(x)\le u$ sur $[v,f(u)]$.

Dans tous les cas: $\displaystyle\int_{f(u)}^v\bigl(g(x)-u\bigr)\,\text{d}x\ge 0$.

Compte tenu du calcul précédent, on en déduit : $\displaystyle\int_{0}^u f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^v g(x)\,\text{d}x\ge uv$

3) Le schéma ci-dessous illustre l'idée de la démonstration de la première question.

On y voit la subdivision $(x_k)$ de $[0,a]$, et la subdivision $(y_k)$ de $[0,b]$.

La somme de Riemann $S_6$ de $f$ est représenté par des hachures obliques.

La somme de Riemann $S'_6$ de $g$ est représentée par un nuage de points.

On voit bien comment $S_6$ et $S'_6$ s'emboîtent de sorte que $S_6+S'_6=ab$.

Quand $n\rightarrow\infty$ on devine que $S_n$ et $S'_n$ tendent respectivement vers l'intégrale de $f$ sur $[0,a]$ (aire du domaine situé sous la courbe $y=f(x)$ et dans le rectangle $[0,a]\times[0,b]$) et vers l'intégrale de $g=f^{-1}$ sur $[0,b]$ (aire du domaine situé au-dessus de la courbe $y=f(x)$ et dans le rectangle $[0,a]\times[0,b]$). Le fait que la somme des deux aires soit égale à $ab$ est aussi particulièrement évident sur ce graphique.

Le dessin ci-dessous illustre la question 2. On s'est placé ici dans le cas $v\ge f(u)$.

L'intégrale de $f$ sur $[0,v]$ est hachurée horizontalement, et celle de $g$ sur $[0,v]$ est hachurée verticalement.

On voit que la somme de ces deux aires dépasse $uv$ (le rectangle grisé) :

Donc $-\infty=-\dfrac{3}{4}$.

Tiens Oshine sois honnête pour une fois. Est-ce que tu as appris des choses sur les 3 semaines que tu as passées sur l'exo 1 de l'agreg externe. Tu penses que tu as perdu du temps ou non? Qu'est-ce que tu as retenu?

Allez un peu d'honnêteté

Citation :  Je crois qu'en maths on perd souvent du temps à comprendre des exos qu'on ne saura pas refaire seul.

Ne généralise pas trop vite. Il y a une chose qui est évidente, c'est que tu perds ton temps à (essayer de) comprendre des exos que tu ne sauras pas refaire seul.
Si tu commences à t'en rendre compte, c'est déjà ça. Il y a plein de gens qui te le disent depuis des années, et tu commences à les croire.

Mais si on doit en tirer une règle générale, ce serait : En maths , quand on essaie de faire des exercices de niveau ENS alors qu'on a un niveau lycéen modeste, on perd du temps à comprendre des exos qu'on ne saura pas refaire seul.

Mais c'est une règle beaucoup plus générale  : Pour devenir un musicien (ou un écrivain ou un sportif ou un matheux ou ... ) de tout premier plan, il faut du travail, mais il faut aussi de la méthode, et des qualités innées.

Ok @OShine pour ton avant-dernier message. Que vaut ta constante $K$?