Subdivision centrale 2015
Bonsoir,
J'aimerais savoir comment on fait pour trouver l'idée pour commencer la question $2$ qui me semble extrêmement difficile.
J'ai le corrigé mais je ne comprends pas comment ils pensent à faire tout ça.
Dans la question $1$, on trouve $\forall i \in [|0,n|] \ a_i = F^{-1} \left( \dfrac{i}{n} \displaystyle\int_{a}^b f(t) dt \right)$ où $F(x)=\displaystyle\int_{a}^x f(t) dt$
J'aimerais savoir comment on fait pour trouver l'idée pour commencer la question $2$ qui me semble extrêmement difficile.
J'ai le corrigé mais je ne comprends pas comment ils pensent à faire tout ça.
Dans la question $1$, on trouve $\forall i \in [|0,n|] \ a_i = F^{-1} \left( \dfrac{i}{n} \displaystyle\int_{a}^b f(t) dt \right)$ où $F(x)=\displaystyle\int_{a}^x f(t) dt$
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Réponses
La question 1, comment se réécrit-elle en utilisant $F$? Que vaut $a_0$?
Et $a_0=a$ et $a_n=b$ c'est le principe d'une subdivision.
Elle s'écrit $\boxed{F(a_{i+1})-F(a_i)=\dfrac{1}{n} F(b)}$
Le corrigé fait plein de calculs mais n'explique pas l'idée qui permet de deviner la limite.
Je ne vois pas trop où est la somme de RIemann.
Je comprends les lignes du corrigé et les calculs mais je ne comprends pas l'idée de la preuve qui nous mène à faire ces calculs et ces majorations.
Aux échecs, il y a un type de jeu, en parties très rapides (le Blitz). Imaginons une partie, avec une position un peu compliqué. Le bon joueur va parfois trouver à un moment un coup très efficace, et surtout totalement inattendu. Sans réellement réfléchir, le rythme de jeu ne permet pas de réfléchir plus de 4 ou 5 secondes à chaque coup.
Comment il devine ce bon coup, ça ne s'explique pas. Il pourra l'expliquer pendant des heures à un joueur débutant, le débutant ne saura pas le reproduire s'il a la même situation dans une partie.
Et le joueur doué (mais pas forcément brillant), il n'a pas besoin qu'on lui explique. Il n'aurait pas trouvé de lui même ce bon coup, mais après avoir vu un champion le faire, il est maintenant capable de le reproduire, de l'adapter à des situations similaires. Sans avoir besoin qu'on lui explique quoi que ce soit.
Comment les bons élèves trouvent les idées pour faire les exercices difficiles. Ben, parce qu'ils sont bons, tout simplement. Ils ont le petit don que tout le monde n'a pas. Si tout le monde avait les mêmes capacités en maths, ça se saurait !
En tant que prof, tu l'as déjà dit toi-même, tu avais l'année dernière des élèves que tu trouvais très doués, et d'autres beaucoup moins doués.
La question $2$ est trop abrupte pour moi, détaillée en questions intermédiaires, j'arriverais sûrement à trouver des idées, mais là je suis incapable d'écrire une ligne de raisonnement sur une telle question.
On dirait une question d'écrit d'ENS ULM.
Comme d'hab
C'est vrai que tu aurais voulu qu'on
Le prochain exercice tu auras l'idée de regarder le corrigé, de dire que le corrigé n'explique pas bien et on aura la copie du corrigé dont on a rien à faire.
Tu parles de somme de Riemann, mais je n'ai jamais vu de somme de Riemann dans un espace vectoriel différent de $\R$.
Je ne vois pas de somme de la forme $\dfrac{b-a}{n} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} f(a+ k \dfrac{b-a}{n})$ pourtant je suis à l'aise avec les somme de Riemann en temps normal.
Où est la somme de Riemann ? Tu utilises l'uniforme continuité comme le corrigé ?
Dans le corrigé ils partent de $\dfrac{F(b)}{n} g(a_i)= \displaystyle\int_{a_i}^{a_{i+1}} f(t) g(a_i) dt$ ce qui est logique vu la question $1$.
Mais comment ils devinent qu'on doit montrer : $\dfrac{F(b)}{n} \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} g(a_i) \longrightarrow \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) g(t) dt$ ?
J'ai relu le cours de MP et les sommes de Riemann sont bien au programme de MP, pour des fonctions vectorielles à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie. J'ai parlé trop vite.
D'ailleurs, on adapte la preuve de MPSI en raisonnant sur les composantes de $f$ dans une base de $E$.
On a pas de $g(a + i(b-a) /n) $
Il utilise une autre méthode avec la continuité uniforme.
Mais vous savez très bien qu'en cherchant par lui-même, il ne trouvera jamais rien.
Quand il cherche des exercices de lycée compliqués (concours général), il ne trouve rien. Même avec le corrigé, il ne comprend pas.
Comme dit Deschamps, il faut des bases solides pour attaquer les classes prépas. Et les bases solides ne sont pas là. Point final.
Donc le bouquin d'exercice de M', qu'il l'offre à un étudiant concerné, c'est ce qu'il peut faire de mieux.
Généralement je trouve les exercices sur les sommes de Riemann faciles.
Voici un exercice dans le même style, avec des sommes de Riemann basées sur des subdivisions non régulières. Je mets mon corrigé directement après, c'est juste pour l'information d' @OShine.
Soit $f:[0,a]\rightarrow[0,b]$, continue strictement croissante, surjective. Soit $g=f^{-1}$.
1) Montrer l'égalité : $ab=\displaystyle\int_0^a f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_0^bg(x)\,\text{d}x$
2) Montrer que, pour $u\in[0,a]$ et $v\in[0,b]$ : $uv\le\displaystyle\int_{0}^{u}f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{v}g(x)\,\text{d}x$
3) Interprétations graphiques?
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1) Posons $x_k=\dfrac{ka}{n},\;y_k=f(x_k)$, pour $0\le k\le n$.
Les $x_k$ forment une subdivision régulière $\sigma$ de $[0,a]$.
La fonction $f$ étant croissante, les $y_k$ forment une subdivision (quelconque) de $[0,b]$.
On considère les sommes de Riemann : $S_n=\dfrac an \displaystyle\sum_{k=1}^n f(x_k),\ S'_n= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(y_{k+1}-y_{k})g(y_k)$
Lorsque $n\rightarrow+\infty$, $S_n$ tend vers $\displaystyle\int_ 0^{a}f(x)\,\text{d}x$.
La fonction $f$ est continue sur le segment $[0,1]$. Elle y est donc uniformément continue (Théorème de Heine).
Le "pas" de la subdivision $\sigma'$ tend donc vers $0$ lorsque $n\rightarrow+\infty$.
Ainsi $S'_n\to\displaystyle\int_{0}^{b}g(x)\,\text{d}x$ quand $n\rightarrow+\infty$.
D'autre part : $$\begin{array}{l}S_n+S'_n=\dfrac an \displaystyle\sum_{k=1}^n y_k+ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(y_{k+1}-y_{k})x_k\\\quad=\dfrac an \displaystyle\sum_{k=1}^n y_k+ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x_ky_{k+1}- \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x_ky_k\\\quad=\dfrac an \displaystyle\sum_{k=1}^n y_k+ \displaystyle\sum_{k=1}^nx_{k-1}y_k- \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x_ky_k\\\quad= \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\Bigl(\underbrace{\dfrac an-x_k+x_{k-1}}_{=0}\Bigr)y_k+\Bigl(\dfrac an+x_{n-1}\Bigr)b\\\quad=ab\end{array}$$Quand $n\rightarrow\infty$, l'égalité $S_n+S'_n=ab$ donne : $\displaystyle\int_{0}^a f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^b g(x)\,\text{d}x=ab$
2) On se donne $u\in[0,a]$ et $v\in[0,b]$.
D'après ce qui précède, on a : $\displaystyle\int_{0}^{u} f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{f(u)}g(x)\,\text{d}x=uf(u)$. Ainsi : $$\begin{array}{l}\displaystyle\int_{0}^{u} f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{v} g(x)\,\text{d}x-uv\\\quad=\displaystyle\int_{0}^{u} f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^{f(u)}g(x)\,\text{d}x\\\qquad+\displaystyle\int_{f(u)}^{v}g(x)\,\text{d}x-uv\\\quad=u(f(u)-v)+\displaystyle\int_{f(u)}^{v}g(x)\,\text{d}x\\\quad=\displaystyle\int_{f(u)}^{v}\bigl(g(x)-u\bigr)\,\text{d}x\end{array}$$Rappelons que $g$, tout comme $f$, est croissante :
Si $f(u)\le v$, $u\le g(x)\le g(v)$ sur $[f(u),v]$. Si $v\le f(u)$, $g(v)\le g(x)\le u$ sur $[v,f(u)]$.
Dans tous les cas: $\displaystyle\int_{f(u)}^v\bigl(g(x)-u\bigr)\,\text{d}x\ge 0$.
Compte tenu du calcul précédent, on en déduit : $\displaystyle\int_{0}^u f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{0}^v g(x)\,\text{d}x\ge uv$
3) Le schéma ci-dessous illustre l'idée de la démonstration de la première question.
On y voit la subdivision $(x_k)$ de $[0,a]$, et la subdivision $(y_k)$ de $[0,b]$.
La somme de Riemann $S_6$ de $f$ est représenté par des hachures obliques.
La somme de Riemann $S'_6$ de $g$ est représentée par un nuage de points.
On voit bien comment $S_6$ et $S'_6$ s'emboîtent de sorte que $S_6+S'_6=ab$.
Quand $n\rightarrow\infty$ on devine que $S_n$ et $S'_n$ tendent respectivement vers l'intégrale de $f$ sur $[0,a]$ (aire du domaine situé sous la courbe $y=f(x)$ et dans le rectangle $[0,a]\times[0,b]$) et vers l'intégrale de $g=f^{-1}$ sur $[0,b]$ (aire du domaine situé au-dessus de la courbe $y=f(x)$ et dans le rectangle $[0,a]\times[0,b]$). Le fait que la somme des deux aires soit égale à $ab$ est aussi particulièrement évident sur ce graphique.
Le dessin ci-dessous illustre la question 2. On s'est placé ici dans le cas $v\ge f(u)$.
L'intégrale de $f$ sur $[0,v]$ est hachurée horizontalement, et celle de $g$ sur $[0,v]$ est hachurée verticalement.
On voit que la somme de ces deux aires dépasse $uv$ (le rectangle grisé) :
@bd2017
Soit $n \geq 1$.
$\dfrac{ u_n}{n} = \ln(2) - \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^n f( i /n)$ où $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$
Donc $\dfrac{ u_n}{n} \longrightarrow \ln(2) -\displaystyle\int_{0}^1 \ln (1+x )dx =0$
Je ne vois pas comment obtenir la limite de $u$.
Pour mon exercice en cours je vais chercher comment faire maintenant que je vois la somme de Riemann. Dans le cours, il n'est pas dit que les subdivisions doivent être régulières.
On écrit $u_n=n\ln 2 - \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{1+k/n}=n(\ln 2-v_n)$ avec $v_n=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{1+k/n}$
Or $v_n$ est une somme de Riemann de $f:x\mapsto\dfrac{1}{1+x}$ sur $[0,1]$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=\displaystyle\int_0^1f(t)\text{d}t=\ln2$.
Ainsi $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=n\Bigl(\ln2-\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n\Bigr)=n(\ln2-\ln2)=n\times 0=0$ 😉
Je reviens à l'exercice de départ. On a $\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} g(a_i)= \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} g( F^{-1} \left( \dfrac{i}{n} \displaystyle\int_{a}^b f(t) dt \right) )$
Posons $h(\dfrac{i}{n})=g( F^{-1} \left( \dfrac{i}{n} \displaystyle\int_{a}^b f(t) dt \right)$
Ainsi, $\boxed{\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} g(a_i)=\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} h(\dfrac{i}{n})}$
On reconnaît une somme de Riemann.
Montrons que $h$ est continue par morceaux sur $[0,F(b)]$. $h : [0,F(b)] \longrightarrow E$.
$F$ est continue sur $[a,b]$ et établit une bijection de $[a,b]$ sur $[0,F(b)]$ donc $F^{-1}$ est de continue sur $[0,F(b)]$ et par suite $h$ est continue sur $[0,F(b)]$.
Je bloque ici, la fonction $h$ est trop compliquée, je ne vois pas comment obtenir le résultat et en plus les bornes correspondent pas à $[0,1]$.
Peut-être que le corrigé a eu raison d'utiliser l'autre méthode, il me semble que les sommes de Riemann sont ici beaucoup trop compliquées.
Deux remarques qui sont encore du grand n'importe quoi ? C'est exaspérant.
Je ne comprends pas pourquoi le domaine de définition de $h$ est faux. On a $F^{-1} : [0,F(b)] \longrightarrow [a,b]$ et $g : [a,b] \longrightarrow E$ donc $g \circ F^{-1} : [0,F(b)] \longrightarrow E$.
Je ne dis pas n'importe quoi sur les sommes de Riemann, dans le cours les sommes vont de $0$ à $n-1$ ou de $1$ à $n$. Il n'y a pas de somme de $0$ à $n$.
Théorème (MPSI) :
Si $f \in CM([a,b],\C)$ alors $\dfrac{b-a}{n} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} f(a+ k \dfrac{b-a}{n}) \longrightarrow \displaystyle\int_{a}^b g(t) dt$
Coroallaire (MPSI) :
Si $f \in CM([a,b],\C)$ alors $\dfrac{b-a}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(a+ k \dfrac{b-a}{n}) \longrightarrow \displaystyle\int_{a}^b g(t) dt$
@bd2017 d'accord merci.
On a $\forall x \in [0,1] \ h(x)= u \circ v \circ w (x)$ avec :
- $w(x)=x \displaystyle\int_{a}^b f(t) dt$. On a $\forall x \in [0,1] \ \ w(x) \in [0,F(b)]$ par croissance de $F$.
- $v(x)=F^{-1} (x)$. On a $\forall x \in [0,F(b)] \ \ w(x) \in [a,b]$.
- $u(x)=g(x)$. On a $\forall x \in [0,1] \ \ u(x) \in E$.
$h$ est une application de $[0,1]$ à valeurs dans $E$, elle est continue sur $[0,1]$ par composée de $3$ applications continues. Par le théorème sur les sommes de Riemann qui est applicable à toute fonction continue par morceaux sur un segment, on a :Ainsi $\boxed{\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} g(a_i) \longrightarrow \displaystyle\int_{0}^1 h(x) dx}$
Or $\displaystyle\int_{0}^1 h(x) dx = \displaystyle\int_{0}^1 g \left( F^{-1} (x \displaystyle\int_{a}^b f(t) dt \right) dx$
Je bloque ici pour simplifier l'intégrale.
Allez un peu d'honnêteté
L'exercice n'est pas assez détaillé.
Je crois qu'en maths on perd souvent du temps à comprendre des exos qu'on ne saura pas refaire seul.
Il faut que tu en change ! En maths, il faut, au contraire, comprendre les exercices que l'on cherche, pour savoir les refaire seuls.
On t'a conseillé maintes et maintes fois de choisir des exercices de plus faible niveau, pour que tu apprennes à travailler, et que tu apprennes à te débrouiller seul.
Ta méthode actuelle ne fonctionne pas !
Ne généralise pas trop vite. Il y a une chose qui est évidente, c'est que tu perds ton temps à (essayer de) comprendre des exos que tu ne sauras pas refaire seul.
Si tu commences à t'en rendre compte, c'est déjà ça. Il y a plein de gens qui te le disent depuis des années, et tu commences à les croire.
Mais si on doit en tirer une règle générale, ce serait : En maths , quand on essaie de faire des exercices de niveau ENS alors qu'on a un niveau lycéen modeste, on perd du temps à comprendre des exos qu'on ne saura pas refaire seul.
Mais c'est une règle beaucoup plus générale : Pour devenir un musicien (ou un écrivain ou un sportif ou un matheux ou ... ) de tout premier plan, il faut du travail, mais il faut aussi de la méthode, et des qualités innées.
Amédé j'aimerais j'aimerais bien que Bd2017 m'explique comment simplifier l'intégrale compliquée de l'exercice original.
Je chercherai ton exo sur un autre fil.