Théorèmes triviaux qui portent des noms
Bonjour,
en ce moment, je me révolte de plus en plus contre le fait que des théorèmes triviaux portent des noms. Alors, autant en faire une liste, si ça vous amuse.
Le "théorème du vilain petit canard" (1969 !) :
Lien Wiki : https://en.wikipedia.org/wiki/Ugly_duckling_theorem
Le théorème énonce que pour tout ensemble fini $X$, $x \mapsto card\left( \{A \in P(X) \ \vert \ x \in A\}\right)$ est une fonction constante.
Pour le plaisir des yeux, un article intitulé "Les conséquences métaphysiques du théorème du vilain petit canard" : https://ap5.fas.nus.edu.sg/fass/phibrkb/uglyduckling.pdf
A vous...
PS : Je crois que Christophe avait dit, un jour, que le théorème d'Arrow était une paraphrase de "tout ultafiltre sur un ensemble fini est principal" ; ça a quand même valu un Prix Nobel à Arrow.
en ce moment, je me révolte de plus en plus contre le fait que des théorèmes triviaux portent des noms. Alors, autant en faire une liste, si ça vous amuse.
Le "théorème du vilain petit canard" (1969 !) :
Lien Wiki : https://en.wikipedia.org/wiki/Ugly_duckling_theorem
Le théorème énonce que pour tout ensemble fini $X$, $x \mapsto card\left( \{A \in P(X) \ \vert \ x \in A\}\right)$ est une fonction constante.
Pour le plaisir des yeux, un article intitulé "Les conséquences métaphysiques du théorème du vilain petit canard" : https://ap5.fas.nus.edu.sg/fass/phibrkb/uglyduckling.pdf
A vous...
PS : Je crois que Christophe avait dit, un jour, que le théorème d'Arrow était une paraphrase de "tout ultafiltre sur un ensemble fini est principal" ; ça a quand même valu un Prix Nobel à Arrow.
Réponses
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Prix Nobel pour un résultat mathématique ?Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Je n'ai rien compris au théorème du vilain petit canard. J'ai l'impression que la fonction n'est pas constante du tout. Sans doute que je ne suis pas bien réveillé.
Ne pas trop s'énerver quand même, les théorèmes peuvent avoir des noms pour des raisons plus ou moins obscures. Par exemple un resultat X trivial ou presque et déjà bien connu est utilisé dans un article/livre d'un auteur Y, il donne en premier un nom à ce résultat/cette technique X et par la suites des auteurs Z diront que X est le "théorème de Y" ou équivalent. J'imagine sans avoir de preuves que c'est ce qu'il s'est passé pour le critère de Riemann pour les intégrales, la relation de Chasle ou le pivot de Gauss. Autre possibilité : un auteur X démontre un resultat difficile à un instant donné. 100 ans plus tard on s'aperçoit après nettoyage de la théorie que ce résultat s'énonce comme un cas particulier d'un lemme plus général et plus ou moins trivial, on appelle alors ce lemme en l'honneur de X. -
Si, c'est bien une constante, la fonction associe à un élément le cardinal de l'ensemble des parties qui le contiennent.Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Le cardinal de l'ensemble des parties qui contiennent x plutôt ? Ok merci de m'avoir ouvert les yeux ! Je n'avais pas vu les barres verticales qui indiquaient un cardinal. Pour ma défense elles sont très fines depuis l'écran de mon téléphone 😬
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La formule de Bayes.
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La règle de L'Hospital.
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La règle de Trois (d'ailleurs je n'ai trouvé aucun élément biographique à son propos).Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Le principe des tiroirs.
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Le principe/lemme des bergers
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Allez, je vais à contre-courant et je vais essayer de justifier de l'existence de noms pour certains de ces trucs :-D (tu me pardonneras, Georges, de ne pas t'aider - s'il me faut une réponse je dirais le lemme de Yoneda)
Déjà, comme Renart l'a dit, il y a des raisons historiques. Parfois un truc n'est pas bien compris et est énoncé par quelqu'un-e, puis il est compris 100 ans plus tard mais du coup devient trivial; c'est le cas de beaucoup de trucs triviaux qui du coup ont des noms.
Une autre raison, c'est que parfois c'est évident si tu y penses 5 secondes, mais c'est évident après le fait, a posteriori : y penser est une autre affaire. C'est le cas de ton "théorème" (qui est d'ailleurs parfois utile).
Enfin, une autre raison pragmatique que j'y vois, c'est que parfois tu l'utilises, et tu veux dire "par blah", plutôt que juste "donc" - ça rejoint le point précédent, au sens où si tu n'y a pas réfléchi 5 secondes, tu peux ne pas comprendre le "donc" : ça simplifie beaucoup la vie.
Bon, maintenant je vais essayer d'indiquer pourquoi certains ne sont en fait pas du tout triviaux.
Déjà le principe des tiroirs et le lemme des bergers ne sont clairement pas des trivialités. Ils sont intuitivement évidents, certes, mais comme le théorème de Jordan (certes, à une échelle moindre), la preuve c'est une autre affaire, surtout si on pense au fait qu'il faut avoir une théorie raisonnable des cardinaux pour les énoncer/prouver. Je remarquerais que les deux sont des instances de trucs fortement non constructifs: par exemple dans le cas du lemme des bergers, pas moyen d'exhiber explicitement une bijection $E\cong B\times F$ quand tu as une application surjective $E\to B$ tel que chaque $p^{-1}(b)$ est de cardinal $|F|$ (j'ai choisi mes notations pour évoquer quelque chose aux plus topologues d'entre vous, qui comprendrent certainement pourquoi ce lemme est loin d'être trivial).
Le théorème du vilain petit canard ne me semble pas une trivialité non plus, puisque je ne suis pas sûr qu'il soit vrai sans tiers exclu (cela va sans dire qu'ici, c'est le petit canard qui est exclu). Pareil, comment exhiber constructivement une bijection $\{A\in P(X)\mid x\in A\}\cong \{A\in P(X)\mid y\in A\}$ ? (facile avec le tiers exclu, sans...)
Pour la formule de Bayes, la formule, elle, est une trivialité, mais ce qu'il faut en retenir ce n'est pas la formule, c'est plus la définition de probabilité relative, et c'est elle qui devrait porter un nom. C'est une définition, certes, mais l'énoncé sous-jacent est "une interprétation raisonnable de cette définition est la notion intuitive de probabilité relative".
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Il n'y a donc pas de théorème trivial. Si l'on prend la peine de nommer un théorème, c'est qu'il est de quelque utilité.
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Maxtimax a dit :
Le théorème du vilain petit canard ne me semble pas une trivialité non plus, puisque je ne suis pas sûr qu'il soit vrai sans tiers exclu (cela va sans dire qu'ici, c'est le petit canard qui est exclu). Pareil, comment exhiber constructivement une bijection $\{A\in P(X)\mid x\in A\}\cong \{A\in P(X)\mid y\in A\}$ ? (facile avec le tiers exclu, sans...)
Pour la formule de Bayes, la formule, elle, est une trivialité, mais ce qu'il faut en retenir ce n'est pas la formule, c'est plus la définition de probabilité relative, et c'est elle qui devrait porter un nom. C'est une définition, certes, mais l'énoncé sous-jacent est "une interprétation raisonnable de cette définition est la notion intuitive de probabilité relative".Que veut dire ensemble fini? On peut montrer (intuitionnistiquement) que pour tous $x,y\in \{1,...,n\}$, $x=y \vee x \neq y$. Si fini veut dire "en bijection avec un ensemble de la forme $\{1,...,n\}$" pour un certain $n$ alors le théorème est évident par transport de structure (la décidabilité de l'égalité des entiers permet de construire des transpositions et de montrer que le groupe symétrique agit transitivement sur $\{1,...,n\}$).Le lemme des tiroirs (sous la forme: pour tous $n,p\in \N$, $n< p \Rightarrow$ aucune fonction de $\{1,...,p\}$ dans $\{1,...,n\}$ n'est injective) se montre assez bien par récurrence sur $n$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Le théorème de la boule chevelue.
Le théorème des gendarmes.
Le théorème du sandwich au jambon.
Pardon je me suis laissé aller, je suis hors sujet car on parle de théorème trivial.
Le théorème des gendarmes pourrait rentrer dans cette catégorie. -
Ne pas oublier le théorème de Saint-Cyr.
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Il me semble que dans un ouvrage de François Le Lionnais on peut apercevoir le magnifique théorème suivant: "$2$ est le seul nombre premier $p$ tel que $\frac 1 {p-1}$ est un nombre entier". Je ne sais pas si on peut pousser la sophistication à parler de "Théorème de Le Lionnais" cela dit.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Foys : certes, mais le mot "fini" dans l'énoncé du théorème est superflu, je pensais à ça. Mais tu as raison sinon.
Pour le lemme des tiroirs: oui, mais la récurrence n'est pas une trivialité sans nom : la preuve, elle a un nom :-D Bon de toute façon, j'exagérais un peu hein mais bon, un lemme si utile que ça et qui mérite une preuve (ne serait-ce que "par récurrence") mérite certainement un nom -
J’aime bien l’utilisation du lemme des bergers pour calculer le cardinal d’une orbite de $x \in X$ sous l’action d’un $g \in G$, groupe fini (cf les vidéos de P. Caldero).
Le fait que tout élément d’un groupe possède un inverse crée une symétrie propice à l’utilisation du lemme des bergers.
On note $G_x=\{g \in G, \: g.x=x\}$ le stabilisateur de $G$ et $O_x=\{g.x, \: g \in G\}$ l’orbite de $x$ sous l’action de $G$.
L’élément $x \in O_x$ a pour antécédents $e$ (car $e.x=x$) ainsi que tous les $g \in G$ tels que $g.x=x$ soit précisément le stabilisateur $G_x$.
Un élément $y=g’.x \in O_x$ a pour antécédents, les éléments du translaté $g’G_x=\{g’h, \: h \in G_x \}$ de $G$ (car $h$ fixe $x$).
De plus, il y a bijection entre $g’G_x$ et $G_x$. On passe de $G_x$ à $g’G_x$ en multipliant par $g’$ et de $g’G_x$ à $G_x$ en multipliant par $(g’)^{-1}$.
Du coup, $G_x$ et $gG_x$ ont le même cardinal ($\textbf{le même nombre de pattes}$) pour chaque $\textbf{mouton}$ de $O_x$.
On a donc, par le lemme des bergers:
\begin{equation}
\vert O_x \vert = \vert G \vert / \vert G_x \vert
\end{equation}
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Le Lemme de Serre et le Théorème de Weil (je crois que je les ai déjà cités dans un fil mais je ne sais plus lequel).
Après je bloque. -
Du coup, dans un groupe où tout n’est qu’ordre et symétrie, l’utilisation du lemme des bergers apparaît presque triviale. Mais dans un ensemble structuré différemment, elle l’est beaucoup moins !
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Un de mes profs jugeait peu flatteur pour Lagrange que son nom soit associé au premier résultat qu'on démontre pour les groupes finis.
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gai requin a dit :La règle de L'Hospital.Typiquement quelque chose qui, à l'époque, ne devait pas être évident et l'est devenu par la suite. D'ailleurs il parait que c'est (Jean) Bernoulli qui en serait le découvreur !Maxtimax : 👍
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Principe de Fubini : $I$ et $J$ ensembles finis\[ \sum_{i\in I} \left( \sum_{j\in J} a_{i,j} \right) = \sum_{j\in J} \left( \sum_{i\in I} a_{i,j} \right) = \sum_{(i,j)\in I\times J} a_{i,j}. \]pour une addition commutative et associative avec élément neutre. Il parait que ça s'appelle un monoïde.Je n'ai jamais vu de démonstration écrite nulle part. Il faut avouer qu'il faut avoir du temps et du papier à perdre.Pourtant je connais peu de théorème qui soit aussi élémentaire et aussi important.e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Tous les noms n'ont pas la poesie du lemme du soleil levant.
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En ce qui concerne le théorème du vilain petit canard, ce qui me choque, c'est que :
- son énoncé était probablement un exercice de première année déjà à l'époque des les grands-parents de Watanabe (son "auteur") ;
- d'après ce que j'ai compris, la démonstration qui en est proposée est juste d'utiliser la bijection $\mathcal{P}(X) \simeq \{0,1\}^X$ ;
- qu'on annonce pompeusement que découle de ce théorème "on ne peut rien classifier sans biais" ;
- qu'il y ait besoin d'une image pour "expliquer" : https://en.wikipedia.org/wiki/File:Watanabe_UglyDucklingTheorem_svg.svg
- que l'auteur soit physicien et pas mathématicien (mais ça c'est parce que je vire vieux ***).
@Médiat : Arrow a eu le "Prix Nobel" d'Economie pour son théorème. Et c'est quoi, le théorème de Saint-Cyr (une blague, peut-être, je trouve rien sur Google) ?
@Renart : Oui, désolé, je vais rajouter $card$ pour que ça se voie mieux.
@Max : Ok ok, mais là, franchement, je crois pas que ce soit un théorème "utilisé". Je pense que c'est plus un théorème "glosé".
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Prix Nobel d'économie, OK,
Quant au théorème de Saint-Cyr, tous les élèves de Spé des années 70 le connaissent : Toute équation admet 1 ou -1 pour racine.Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Ok ! C'est une blague antimilitariste ?
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Oui, et qui mettait en évidence la simplicité du concours (réservé à ceux qui rataient les autres)Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Ok ok je comprends mieux, merci !
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Je comptais clôturer mon compte car je n'aime pas les réseaux sociaux, mais ce problème était irrésistible pour moi, donc je fais ce nouveau commentaire. Preuve ci-joint du principe de Fubini:ev a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2347106/#Comment_2347106[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
P.S. Je pense qu'il est possible de donner des preuves moins longues et sans trop d'agilité sur la théorie des monoïdes, il faudrait juste utiliser le théorème d'induction sur les relations bien-fondées.
![[Utilisateur supprimé]](https://wf.vanillicon.com/f9001f61ce4677a47bf2bb21f24a110a_100.png)
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