Sphère osculatrice
Bonjour et merci d'avance.
Pourriez-vous me confirmer que mon calcul numérique est correct ?
Dans un repère orthonormé $\left(O,\vec {i},\vec {j},\vec {k}\right)$ de $\mathbb {R}^3$
On considère la courbe paramétrée qui dans ce repère est définie par
$x\left(t\right)=5+2\cos\left(t\right)$
$y\left(t\right)=3\sin\left(t\right)$
$z\left(t\right)=5\sin\left(\dfrac {t}{2}\right)$
Pour le point $P_t$ avec $t=\dfrac {1+\sqrt {5}}{2}$ calculer
a) La courbure $\gamma $ et la torsion $\tau $
b) Le rayon $r$ du cercle osculateur et le rayon $R$ de la sphère osculatrice
c) Les coordonnées du centre $W$ du cercle osculateur et les coordonnées du centre $S$ de la sphère osculatrice
Remarque. On se contentera d'une approximation des valeurs numériques à quatre chiffres après la virgule
Solution
a)
$\gamma \approx 0.4423$ la courbure.
$\tau \approx 0.1163$ la torsion.
b)
$r\approx 2.2608$ le rayon du cercle osculateur.
$R\approx 19.5747$ le rayon de la sphère osculatrice.
c)
$W\left(4.6976;0.7854;3.1958\right)$ le centre du cercle osculateur.
$S\left(17.3054;-3.1263;17.4716\right)$ le centre de la sphère osculatrice.
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Réponses
Pour le repère mobile de Frenet $\left(P_t,\overrightarrow {T},\overrightarrow {N},\overrightarrow {B}\right)$ au point $P_t$ j'ai obtenu
Le vecteur vitesse étant colinéaire à $\overrightarrow {T}$ et dans ce cas particulier il est aussi de même sens
Le plan rectifiant est engendré par $\overrightarrow {T}$ et $\overrightarrow {B}$
Le plan normal est engendré par $\overrightarrow {N}$ et $\overrightarrow {B}$
C'est un peu curieux de prendre $t=\frac{1}{2} \; \left(\sqrt{5} + 1 \right)$ mais bon.. avec GeoGebra on trouve une courbure de 0.4423280737...
Une figure :
Peut-être pas une fenêtre de Viviani mais on ne devrait pas en être loin.
Amicalement
Pour la courbure on a la même chose
Pour le reste on a pareil?
Sais-tu comment elle effectue les opérations qu'elle propose à son menu ?
De le savoir te rassurera sur les résultats que tu obtiens grâce aux propriétés et aux formules de ton cours.
Quelles propriétés et formules au fait ? Je ne me souviens plus.
Je n'ai utilisé que le calcul matriciel et écrit le repère mobile moi-même
Je pensais qu'il existait quelque part un logiciel qui fasse tous ces calculs et j'aurais vérifié si ça colle
Avec GGB, en plus de la commande Courbure, on a aussi la commande VecteurCourbure.
La torsion
Le centre du cercle osculateur
Le centre de la sphère osculatrice au point $P_t$?
Le calcul pour le cercle c'est ok mais le reste n'est pas bon.
Le problème de mon erreur n'est pas calculatoire : c'est juste du grand n'importe quoi car j'ai mal dérivé mes vecteurs.
Pas la peine de me répondre : le problème c'est moi !
Et c'est ma faute car je devais bien me douter que ce que je devais dessiner comme figure c'est celle-ci en considérant que localement la courbe est celle d'une courbe non plane appartenant à une sphère
Je n'ai pas tenu compte de Jean-Baptiste Meusnier
Jean-Baptiste Marie Meusnier — Wikipédia (wikipedia.org)
Il y a un théorème Jean-Baptiste Meusnier à exploiter
Théorème sur les courbures des surfaces, dû à Jean-Baptiste Meusnier .
Plusieurs énoncés portent ce nom.
1 – Si deux courbes tracées sur une même surfaces sont tangentes en un même point M et ont le même plan osculateur en M, alors elles ont le même centre de courbure en M.
2 – Soit C une courbe tracée sur une surface S et P le centre de courbure de C en un point M. Le point P est la projection sur le plan osculateur en M à C du centre de courbure en M de la section normale de S contenant la tangente en M à C.
Je reviendrais quand j'aurais travaillé le sujet (ça devrait prendre un moment et faire des vacances au forum)
Je vais faire plus attention à la conjugaison des verbes car ça aussi c'est important pour moi.