Fonctions à deux variables

najibifarid · March 2022

Bonjour
Je fais appel à votre générosité car je suis bloqué sur ce problème.
Je dois trouver les extrema de cette fonction.
J'ai calculé les dérivés partielles pour trouver les points critiques après j'ai trouvé que dérivées partielles s'annulent pour $y=0$ et pour n'importe quel $x$ donc j'ai essayé d'étudier la différence de signe

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/us/grigirrl802a.png

mais là je galère pour trouver la valeur de $x$ pour laquelle $f(x,y)-f(x,0)$ change de signe déjà pour tout $x >0$, $f$ admet un minimum.
Merci beaucoup de pouvoir m'aider

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/2y/ekoepwqsaat7.png

Dom · March 2022

Bonjour
Pourrais-tu déposer tes calculs ?
en Latex, sinon ça va être illisible.

Cordialement
Dom.

najibifarid · March 2022

bonjour Dom,
voilà mes calculs .
merci beaucoup pour votre aide.

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Dom · March 2022

Il y a un $4$ qui s’échappe.

$(x,y)$ est un point critique si et seulement si :
$y^2=0$ et $2xy+\dfrac{2y}{4+y^2}=0$.

En effet il s’agit des points de la forme $(x,0)$ où $x$ est n’importe quel réel.

Ensuite, il n’y a pas une histoire de hessienne ?

najibifarid · March 2022

je suis en prépa MPSI et dans le cours on n' a pas parlé de matrice hessienne, ou de dérivées partielles de second ordre ce qui complique les choses.

najibifarid · March 2022

besoin de votre aide svp

Dom · March 2022

Ok.

En effet dans ce cas ton idée d’étudier ce signe est pertinente… (je reviens plus tard…)

G.Letac · March 2022

Je poserais $t=y^2/4\geq 0$ pour simplifier et pour différentes valeurs de $x$ réel fixées je tracerais le graphe $t\mapsto 4xt+\log (1+t).$

najibifarid · March 2022

Bonjour @G.Letac
j'ai pensé à faire pareille, donc j'ai passé par la dérivé pour calculer les variation de $f(t)$.
J'ai du m'arrêter parce que la dérivée dépend toujours de $x$ en effet

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/tc/6dw5vm1fotnn.png

et donc mon delta dépend de lui aussi de $x$.

najibifarid · March 2022

je fais appel à votre aide s'il vous plait .

Dom · March 2022

Si l’on triche avec la hessienne pour voir la tête que ça a afin de tenter d’autres calculs pour démontrer des extrémums… ?
Je suis dans les transports, pas de papier crayon…

Sans garantie : on obtient pour "rt-s²" : $-4y²$.
On n'aurait donc que des points selles pour $y\neq0$.
Il suffit peut-être de faire un raisonnement par l'absurde (ou plutôt par contraposée) : si on a un extremum, alors... contradiction...

source en page 2 pour les notations :
https://perso.math.univ-toulouse.fr/ktanguy/files/2013/10/Révisions-calculs-diff-2.pdf

bd2017 · March 2022

Bonjour

Alors il faut continuer.

On pose g(x,y)=f(x,y)-f(0,0).

Étude locale au point $(a,0)$. $g(a,0)=0$, $ g(a+h,k)=(a + h) k^2 + Log(1 + k^2/4).$

Si $a>0 $ et $h $ assez petit $g(a+h,k)>0=g(a,0)$. On a donc un minimum local au point $(a,0)$.

Si a= 0 continuer...

najibifarid · March 2022

@Dom
j'ai fait des recherches sur les matrices puisque on les a pas encore fait
voilà ce que j'ai trouvé en calculant de déterminant de la matrice hessienne

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/h8/za9tbbllltaa.png

la deuxième matrice est pour le point critique donc y=0
on a donc trouvé que D=0 donc on peut pas conclure .

najibifarid · March 2022

bonjour @bd2017
certes pour x>0 f admet un minimum , mais toute la difficulté consiste sur la cas ou x<0 la fonction reste t-il positif sinon comment trouver le point dans le quelle y un changement du signe .
cordialement

jmf · March 2022

Pas besoin de Hessienne….

Résumons: $f$ est ${\cal C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$, et ses points critiques forment l’axe $Ox$. Sur cet axe $f$ vaut identiquement $\ln 4$.
Au voisinage de $(x_0,0)$, on a $f(x,y)-\ln4=xy^2+\ln\Bigl(1+\dfrac{y^2}4\Bigr)=\Bigl(x+\dfrac14\Bigr)y^2+y^2\varepsilon(y)$ avec $\displaystyle\lim_{y=0}\varepsilon(y)=0$.
On distingue alors les cas $x_0<-\dfrac{1}{4}$, $x_0>-\dfrac14$ et $x_0=-\dfrac14$.

bd2017 · March 2022

@najibifarid pour a<0 le terme en log (1+k^2/4) se comporte comme k^2/ 4 quand k est petit. Il va falloir faire un DL du log pour plus de détails. C'est ce qu'à fait @jmf dans le message précédent.

najibifarid · March 2022

merci beaucoup @bd2017 @jmf @Dom
dernière question , maintenant qu'on a trouvé les solutions , faut-il dire que f admet
1) maximum local : f(x, y) < f(a; 0) pour tous les couples (x, y) appartenant `a un certain disque centré en (a; 0) avec a <-1/4 ;
2) minimum local : f(x, y) > f(a; 0) pour tous les couples (x, y) appartenant `a un certain disque centré en (a; 0) avec a > -1/4;