Chercher explicitement une relation de conjugaison
Bonjour
Je cherche une relation de conjugaison explicite dans $ \mathbb{S}_5 $ entre:
$ \sigma_1 = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \end{smallmatrix}\bigr) $
$ \sigma_2 = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4
& 5 \\ 3 & 2 & 5 & 4 & 1
\end{smallmatrix}\bigr) $
Je cherche donc $ \tau $ tel que : $ \sigma_2=\tau \sigma_1 \tau^-1 $
En tâtonnant, j'ai trouvé $ \tau = \tau^{-1}=(13)(25) $
Mais je me demande si il y a une façon propre de le faire, sans tâtonner...
Merci !
Réponses
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BonsoirOui, c'est de passer par la décomposition en produit de cycles disjoints des deux permutations(123)(4)(5)(351)(4)(2)PS. Il n'y a bien sûr pas unicité.
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MerciPour les cycles disjoints, c'est ce que j'ai essayé de faire, mais je n'arrive pas à formaliser cela en équations.
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Si $\gamma=(i_1,\dots,i_r)$ est un cycle de longueur $r$ et $\sigma$ une permutation quelconque, sais-tu qui est $\sigma\gamma\sigma^{-1}$ ?
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Mais pourquoi diable veux-tu des équations ? Ça n'a rien à faire ici.Deux permutations sont conjuguées si et seulement si elles ont des décompositions en produits de cycles disjoints de même type, c.-à-d. même nombre de cycles pour chaque longueur de cycle.Tu écris alors tes deux décompositions l'une en dessous de l'autre par longueur de cycle décroissante, de façon à avoir des cycles de même longueur l'un en dessous de l'autre :$\sigma_1=(123)(4)(5)$$\sigma_2=(135)(2)(4)$Tu laisses tomber les parenthèses pour obtenir une permutation donnée par deux lignes :$\tau = \begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&3&5&2&4\end{pmatrix}$Et voila, tu as $\tau\sigma_1\tau^{-1}=\sigma_2$.L'explication est simple : $\tau^{-1}$ te fait remonter de la deuxième ligne à la première, $\sigma_1$ fait tourner les cycles sur la première ligne, $\tau$ te fait redescendre de la première à la deuxième ligne ; c'est bien comme si tu avais fait tourner les cycles sur la deuxième ligne !
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Alors ça, c'est une explication shadok comme on les aime ! Ça a l'air complètement farfelu, mais c'est parfaitement exact.
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Compris! Merci!
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Bonjour!
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