$u_1=1$ , pour $n\geq 1$ on a $u_{n+1}=\dfrac{F_nu_n +F_{n+1}}{F_nu_n + F_{n-1}}$, où $(F_n)$ est la suite de Fibonacci. Montrer que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
Soit $R_n=\frac {F_{n+1}}{F_n}$, alors $R_n=1+\frac 1{R_{n-1}}$ et $u_{n+1}=\dfrac {u_n+R_n}{u_n+R_n-1}$.
Si la suite $u_n$ converge, alors sa limite est $\ell=\frac12(2-\alpha+\sqrt{\alpha+5})$ avec $\alpha=\frac12 (1+\sqrt 5)$. C'est je pense la valeur donnée par Rescassol.
Si l'on prend bien la suite de Fibonacci « classique » $F_0=0,F_1=1$, alors il semble que la suite $u_{2n}$ est décroissante et la suite $u_{2n-1}$ est croissante.
Je me trompe peut-être, mais j'ai l'impression qu'on montre facilement que la suite est croissante majorée, donc convergente ; puis que la limite $\ell$ vérifie $\ell=\dfrac{\ell+\varphi}{\ell+\frac{1}{\varphi}}.$
Il n'est pas difficile de prouver que la suite $(w_n)$ définie par $w_1=v_1, \:\: w_{n+1} = \dfrac 49 w_n + \dfrac C{a^{2n}},\:$ a une limite nulle. (on peut obtenir une expression simple de $w_n$ en fonction de $n,v_1,C.$) L'inégalité $(3)$ entraîne alors que $ \displaystyle \lim_{n\to + \infty} v_n =0, \:$ puis $\displaystyle \lim_{n\to + \infty} u_n= l.$
Réponses
On obtient $1.4772599964740196$.
Cordialement,
Rescassol
Ou $\text{limite}=\dfrac{\sqrt{5}-1+\sqrt{14\sqrt{5}+38}}{2(1+\sqrt{5})}$.
Cordialement,
Rescassol