Loi du logarithme itéré pour le mouvement brownien dans $\mathbb{R}^p$

Bonjour.
Soit $W=(W^1,...,W^p)$ un mouvement brownien dans $\mathbb{R}^p.$ Soit $||\cdot||$ la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^p.$ Prouver que $$\limsup_{r \to +\infty}\frac{||W_r||}{\sqrt{2r\ln(\ln(r))}}=1 \text{ p.s.}$$
On conclut de la loi du logarithme itéré pour le mouvement brownien réel que $$1\leq \limsup_{r \to +\infty}\frac{W_r^1}{\sqrt{2r\ln(\ln(r))}}\leq\limsup_{r \to +\infty}\frac{||W_r||}{\sqrt{2r\ln(\ln(r))}}\text{ p.s.}$$
Comment prouver que $$\limsup_{r \to +\infty}\frac{||W_r||}{\sqrt{2r\ln(\ln(r))}} \leq 1 \text{ p.s. ?}$$ 
Merci.