Calcul d'une série infinie
Réponses
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As-tu essayé de tester chaque égalité avec wolfram ?
Je dis ça car parfois, c’est rapide et on détecte rapidement la ligne suspecte. -
je n'ai pas pensé à le faire, merci pour l'idée
il est tard, je ferai ça demain ...
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La permutation somme intégrale est suspecte parce que les deux séries $\sum\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-(ak+1)y}\mathrm{d}y$ (pour $a=1,2$) divergent.
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$\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac1{(k+1)(2k+1)}=2 \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\Big(\dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+2}\Big)= 2 \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}=2\ln2$
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Bonjour
notre ami jmf a trouvé la bonne décomposition de la fraction
mais il s'est trompé sur la valeur initiale de k qui en fait zéro
la somme demandée est donc : $$2[1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} -..........+ (-1)^{n+1}\frac{1}{n} +.......]$$ soit 2ln2
Cordialement -
Ok @jean lismonde
sur les trois sommes, c’est $k=0$ pour les deux premières et $k=1$ pour la troisième (simple distraction car la somme finale était la bonne 😇)
Je corrige. -
J'étais persuadé qu'il n'existait pas de méthode simple ... encore faut-il voir l'astuce ou la connaitre ...
effectivement mes deux intégrales divergeaient, je ne m'en suis pas préoccupé ...
Merci à tous pour votre réactivité -
Il était naturel de décomposer la fraction $\frac 1{(k+1)(2k+1)}$ en éléments simples, mais l'intervention d'intégrales généralisées ne s'imposait pas. Au pire, si l'on ne trouve pas une solution simple comme celle de jmf, on calcule la somme de la série entière obtenue en multipliant par $x^k$.Voir par exemple $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac1{k(k+1)(2k+1)}$, ou $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac1{k^2(k+1)}$, ou $\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac1{k^2(k+1)^2}$, etc.
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@Chaurien: j'obtiens les bonnes valeurs si les éléments simples sont exprimés avec le même coefficient devant x : $\dfrac{1}{ax+...}$ et après je remplace par l'intégrale $\int e^{-(ax+...)y}dy$; que signifie multiplier par $x^k$, cela revient-il au même ...? Je vais m'entrainer avec vos exemples, merci à vous
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