Dénombrer l'ensemble des parties de E excluant m paires d'éléments identiques
Bonjour
Mon problème est la suivant.
Soit $E_{3}=\{P,C,L\}$ un ensemble à $
k=3$
éléments, et $P(E_3)$
l'ensemble des parties de
$E_3$.
1) Supposons $
C=L$
, deux éléments de $E$ identiques. Je cherche à dénombrer toutes les parties de
E
ne contenant pas $C,L$
. Je note $
A^1_3
⊂ P(E_3)$
cet ensemble. En faisant le dénombrement à “la main”, je trouve son cardinal $
|A^1_3|=6$. En procédant de la même manière, j'obtiens
$|A^1_2|
=3$
. En augmentant l'ensemble $
E$
du nombre d'éléments nécessaires (avec la contrainte que seuls $C,L$ sont identiques), j'obtiens $|A^1_4|
=12, |A^1_5|=24$
... ce qui suggère la relation suivante:
$|
A^1_
k|
=|
A^1_2| 2^{k-2}$, pour $k ≥ 2$
. 2) Supposons maintenant que l'on ait $E$ tel que 2 paires d'éléments sont identiques. En procédant de la même façon, j'obtiens
$|A^2_4|=9$
et $
|A^2_k|=|A^2_4|
2^{k-4}
- \left\lfloor 2^{k-6}\right\rfloor$, pour $k ≥ 4$
.
Je ne sais pas si j'ai été très clair jusqu'ici ...
Mais j'aimerais pouvoir aller au delà de ces simples conjectures et généraliser ces résultats pour calculer
$|A^m_k|$
, avec $m$
paires d'éléments identiques ($m<k$
) ... L'analyse combinatoire doit surement être triviale, mais pour le moment je sèche.
En vous remerciant d'avance pour vos lumières !!
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Réponses
J'ai un ensemble $E$ avec $n$ éléments, dont $m$ paires.
Je regarde une partie de $E$.
Interprétation n°1 : si cette partie de $E$ ne contient aucune des $m$ paires, alors cette partie est considérée comme 'Ok'
Interprétation n°2 : si cette partie de $E$ contient éventuellement certaines paires, mais ne contient pas toutes les $m$ paires, alors cette partie est considérée comme 'Ok'
Et évidemment on cherche à comptabiliser les parties qui sont 'Ok'.
Dans le cas où on a $m=1$, c'est flagrant que c'est très facile de compter les parties qui sont 'pas-Ok', comme déjà dit. Puis de faire la soustraction.
Pour $m>1$, si c'est l'interprétation n°1, ça se gâte. Si c'est l'interprétation n°2, c'est très simple.
Mais, ensuite, tu dis que c'est l'interprétation n°1, et donc : qui ne contiennent aucune des 2 paires fixées.
J'espère que tu vois bien à quel point ta formulation est ambiguë.
Regarde 'le crible de Poincaré' ; tu devrais trouver la réponse à ta question.