Une intégrale :)

Quentino37 · March 2022

@Philippe Malot m'a proposé de calculer cette intégrale : $$\int_{0}^{\infty} \frac{\arctan(t)}{t}\ln\left(\frac{1+t^2}{(1-t)^2}\right)dt$$
Au début j'ai commencé par poser $tan(t)=x$ mais a la fin je me retrouvais avec des sommes infinie avec des intégrales du type $$\int_{0}^{\pi} t \sin^n(t)dt$$
Et avec la somme infinie c'était incalculable.
Mais je me suis dit(ce soir) que le truc avec le lograrimthe valait la même chose que le même truc avec 1/x. Donc en posant x=1/t on obtient sauf erreur :
$$\int_{0}^{\infty} \frac{\arctan(1/t)}{t}\ln(\frac{1+t^2}{(1-t)^2})dt$$
Et donc il suffirait de calculer(a un facteur près c'est la valeur de notre intégrale

$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{t}\ln(\frac{1+t^2}{(1-t)^2})$$
Pour que après on puisse vaincre l'integrale

Mais pour cette nouvelle intégrale, je n'est aucune inspiration... Si je décompose je tombe sur des intégrales complexes....
Pourriez vous le donner un petit indice ?

ev · March 2022

Pour le calcul de $ \int_{0}^{\pi} t \sin^n(t)dt $ tu peux essayer le changement de variable en $ \pi - t $.

e.v.

Quentino37 · March 2022

Bonjour @ev je ne travaille plus sur cette idée (le problème c'est que l'on tombe sur une somme du type $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\int_0^{\pi}\sin^n (t)dt}{n+1}, $$ mais maintenant sur $$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{t}\ln\Big(\frac{1+t^2}{(1-t)^2}\Big).$$ Merci quand même.

jmf · March 2022

Pour la dernière intégrale, le changement de variable u=1/t (encore lui) montre que l’intégrale sur $[1,+\infty[$, est égale à celle sur $]0,1]$.

Donc le résultat, c’est deux fois l’intégrale sur ]0,1].

Et là, on peut séparer en la différence de deux intégrales et utiliser des DSE.

Boécien · March 2022

Elle converge cette dernière intégrale? EDIT: oui j'avais mal lu c'est (1-t)^2 et pas 1-t^2

Philippe Malot · March 2022

Bonjour,
Je viens de me rendre compte que je m'étais trompé en recopiant cette intégrale. La borne supérieure n'est pas $+\infty$ mais $1$, ce qui semble assez logique.