Fonctions réciproques définies sur des ensembles infinis ...
Titre initial : "Fonctions réciproques définies sur des ensembles infinis sauf en un nombre fini de points"
[Le titre doit être informatif mais court. Le corps du message est là pour les développements. AD]
Bonjour,
Je bloque sur un passage de mon cours.
Soit $C$ et $D$ deux ensembles infinis, $\varphi : C \rightarrow D$ et $\psi : D \rightarrow C$ deux fonctions définies sur $C$ et $D$ respectivement sauf éventuellement en un nombre fini de points, telles que $\psi \circ \varphi = Id_C$ et $\varphi \circ \psi = Id_D$ partout où $\varphi \circ \psi$ et $\psi \circ \varphi$ sont définies.
Alors mon cours conclut que $\varphi$ et $\psi$ ne sont pas constantes.
Je ne vois pas ce qui l'empêche : cas où $\varphi$ et $\psi$ sont constantes, et chacune non définie sur l'image de l'autre, définie partout ailleurs ?
Il me semble qu'il faut rajouter des hypothèses : que $\psi \circ \varphi = Id_C$ par exemple soit définie en au moins un point.
Merci d'avance.
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Réponses
Cela me fait penser à un théorème qui dit que toute application rationnelle entre deux courbes algébriques est définie partout !
Exemple : Soit $V$ la variété de $\mathbb P^2(\mathbb Q)$ définie par $X^2+Y^2=Z^2$ et $\varphi:V\to \mathbb P^1(\mathbb Q)$, $[X,Y,Z]\mapsto [X+Z,Y]$.
Montrer que $\varphi$ est définie en $[1,0,-1]$ !
D'où un vrai problème pour l'image de $P=[1,0,-1]$ mais on peut trouver ce qu'on appelle une formule-relai qui permet de définir $\varphi$ en $P$ whatsoever !
Sur $V$, on a $\dfrac{X+Z}Y=\dfrac Y{Z-X}$ donc $\varphi([X,Y,Z])=[Y,Z-X]$ (formule-relai) donc $\varphi(P)=[0,1]$.
Rigolo non ?
En algébrique, $\infty \notin$ corps de base.
Ceci prouve que le cercle est une courbe rationnelle (ou unicursale), i.e. de genre $0$.
C'est tellement plus agréable de travailler dans le projectif !
De très très belles mathématiques !