Nature d’une série (oral de l’X 2021)

Quand la suite c'est les entiers naturels montrer que la série converge vers un nombre irrationnel.

Et pour une réponse à Boécien : https://math.stackexchange.com/questions/2630068/elementary-proof-that-the-limit-of-sum-i-1-infty-frac1-operatornamel

Dans le cas général, et en se plaçant volontairement au-dessus du niveau demandé, il existe des minorations explicites du ppcm en question.  Par exemple, il y a ce résultat que j'avais déjà mis ici sans doute l'an dernier : si $u_0,r \geqslant 1$ sont entiers premiers entre eux, alors pour tout entier $n \geqslant r(r+1)$, on a
$$\textrm{ppcm} \left(u_0, u_0+r,u_0+2r,\dotsc,u_0 + nr \right) \geqslant u_0 r^{r+1} (r+1)^n.$$
Pour comprendre un peu l'histoire derrière tout ça, on peut regarder le cas de $d_n := \textrm{ppcm}(1,\dotsc,n)$ et suivre l'idée de Mohan Nair lorsqu'il a cherché une autre méthode, plus simple que les méthodes habituelles, pour obtenir une minoration de $\pi(n)$ : 

(i) Tout d'abord, on a classiquement
$$\sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{(-1)^k}{n+k+1} = \frac{1}{(n+1) {2n+1 \choose n+1}} = \frac{1}{(2n+1){2n \choose n}}$$
d'où l'on déduit que $(2n+1) {2n \choose n}$ divise $d_{2n+1}$.

(ii) On connaît la minoration ${2n \choose n} \geqslant \frac{4^n}{2 \sqrt n}$.

Ces deux points combinés montrent que $d_{n+1} \geqslant n^{1/2} 2^{2n}$, et donc aussi $d_{2n+2} \geqslant d_{2n+1} \geqslant n^{1/2} 2^{2n}$. Finalement, on obtient que, si $n \geqslant 16$, alors $d_n \geqslant 2^n$. Un calculateur montre que cette inégalité est également vraie pour $n \in \{7,\dotsc,15\}$.

Bonsoir,
pour une autre référence en français, voir chez Cassini "exercices de mathématiques oraux X-ENS analyse tome 1" (3e édition corrigée) l'exercice 3.23 page 167.