Définitions précises
Bonjour
Il s'agit d'une question et d'une curiosité sur les bases des définitions en mathématiques. En étudiant différents livres, nous pouvons observer comment certains auteurs abusent des notations et du langage, qu'ils en avertissent ou non le lecteur. Les théorèmes peuvent être des conditions nécessaires, des conditions suffisantes ou les deux. Cependant, ma question est la suivante : toutes les définitions sont-elles rédigées en langage "si, et seulement si" ? Par exemple : certaines définitions sont écrites comme ceci :
Déf 1.1. Si $P$ satisfait la propriété $Q$, alors $P$ est dans $Q$.
Cette définition est rédigée comme un conditionnel, mais comme il s'agit d'une définition, elle ne devrait pas être rédigée comme suit :
Def 1.2. $P$ satisfait la propriété $Q$, si et seulement si, elle est dans $Q$?
Je dis tout cela en me référant à une définition et bien sûr pas en me référant à un théorème logique dans lequel ceci n'est clairement pas vrai. Pour formaliser un peu mieux ma question : toutes les définitions sont-elles écrites avec un biconditionnel, implicitement ?
Merci.
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Réponses
Ce n'est pas le même.
$x \le y \Leftrightarrow \exists z (x + z = y)$ est à la fois si simple et si clair et permet d'utiliser $\le$ dans les formules.
Par contre, utiliser cette formulation pour la définition de la commutativité dans le langage des groupes me va bien.
Tout cela pour illustrer qu'il y a plusieurs types de définitions, a minima celles qui introduisent un nouvel élément du langage mathématique et celles qui introduisent un nouvel élément du langage du mathématicien.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
On peut utiliser $\equiv$ à la place, mais alors il faut le définir ( )
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
quel que soit $f$, $f$ continue $\iff formule(f)$.
Je cautionne. L'utilisation du verbe être en mathématique prête à confusion. Par exemple dans "Un losange est un parallélogramme" et dans "Un rectangle est un quadrilatère ayant 4 angles droits" le verbe être n'a pas le même sens.
Pour une définition j'aime bien la formulation: "Un quadrilatère ayant 4 angles droits" sera appelé "rectangle". La notion de définition apparaît plus clairement et le mot raccourci apparaît après ce qu'il remplace, ce qui aide à comprendre la chronologie.
[Je pense cependant que cette question appartient à "enseignement et pédagogie", d'ailleurs beaucoup de questions posées en "logique et fondements" devraient figurer dans "enseignement et pédagogie".]
Pour aller dans la continuité de ce que dit Foys.
En effet, une définition n'est pas une formule mathématique, généralement il s'agit de nommer une relation en exhibant une formule mathématique qui définit cette relation. Par convention on codifie cela en séparant le symbole de relation et la formule par un "si" mais on aurait pu choisir une autre codification.
Le "si" de la définition n'a rien à voir avec le connecteur logique de l'implication. Ici, le "si" n'est pas un connecteur, c'est juste une ponctuation comme on en voit souvent dans les codes informatique.
PS : désolé de n'avoir pas répondu à votre question sur les théories, mais quand j'ai vu la question, Martial avait répondu avec plus d'exemples que j'en avais en tête.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Deux ensembles A et B vérifiant A inter B vide seront appelés /pourront être appelés "disjoints".
Dorénavant quand deux ensembles seront d'intersection vide on les appellera "disjoints".
Remarque : le « revient à dire » est commode pour le secondaire, surtout collège, quand l’inspecteur interdit « si et seulement si ». Ils ne sont pas tous comme ça…
La classe des espaces topologique est définissable par une formule du premier ordre tandis que la notion de catégorie nécessite une formule du second ordre pour être définie (dans ZF et non en théorie des classes).
$G$ pourrait très bien être $[est-continue]$
On peut aussi comprendre "définition" dans le sense "interprétation de symbole".
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse