Calcul des variations
Bonjour,
Soient $U,A>0$. J'aimerais montrer que la fonctionnelle $$J(a) = \int_0^U |a'(u)|^3 e^{-a(u)^2} \,\mathrm{d}u$$ définie sur $W=\{a\in W^{1,3}(]0,U[) \mid a(0)=0 \text{ et } a(U)=A\}$, possède un minimiseur. Pour cela, je prends une suite minimisante $(a_n)$ (i.e. $J(a_n) \to \inf_W J$) et la première étape est de montrer que $\|a_n\|_{W^{1,3}}$ est borné (pour extraire une sous-suite convergeante, etc.), mais je n'y arrive pas. Une alternative, serait de remplacer $J$ par $J_\varepsilon (a) = \int_0^U |a'(u)|^3 (e^{-a(u)^2} +\varepsilon)\,\mathrm{d}u$ avec $\varepsilon>0$, de trouver un minimiseur de $J_\varepsilon$ (ça je sais faire) puis de montrer que quand $\varepsilon\to0$ il tend vers un minimiseur de $J$, mais la dernière partie risque d'être laborieuse.
Avez-vous des idées pour attaquer ce problème de manière pas trop compliquée ?
Merci d'avance
Soient $U,A>0$. J'aimerais montrer que la fonctionnelle $$J(a) = \int_0^U |a'(u)|^3 e^{-a(u)^2} \,\mathrm{d}u$$ définie sur $W=\{a\in W^{1,3}(]0,U[) \mid a(0)=0 \text{ et } a(U)=A\}$, possède un minimiseur. Pour cela, je prends une suite minimisante $(a_n)$ (i.e. $J(a_n) \to \inf_W J$) et la première étape est de montrer que $\|a_n\|_{W^{1,3}}$ est borné (pour extraire une sous-suite convergeante, etc.), mais je n'y arrive pas. Une alternative, serait de remplacer $J$ par $J_\varepsilon (a) = \int_0^U |a'(u)|^3 (e^{-a(u)^2} +\varepsilon)\,\mathrm{d}u$ avec $\varepsilon>0$, de trouver un minimiseur de $J_\varepsilon$ (ça je sais faire) puis de montrer que quand $\varepsilon\to0$ il tend vers un minimiseur de $J$, mais la dernière partie risque d'être laborieuse.
Avez-vous des idées pour attaquer ce problème de manière pas trop compliquée ?
Merci d'avance
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Réponses
Finalement, je crois que je m'en suis sorti (désolé du dérangement du coup). J'ai remarqué que pour tout $a\in W$, il existe $b\in W$ croissante telle que $J(b)\leqslant J(a)$. En effet, posons $u_{0} = \max a^{-1} (\{0\})$ et $b:u = \mathbf{1}_{u>u_{0}} \inf _{[u,U]} a$ (fonction nulle avant $u_{0}$ puis enveloppe croissante inférieure de $a$). Elle est continue et $b' = a' \mathbf{1}_{b=a\wedge u>u_{0} }$ (à démontrer proprement, mais je pense que c'est vrai) donc $b\in W^{1,3}$. Et $b(0)=0$ et $b(U)=A$ donc $b\in W$. Enfin, $J(b)\leqslant J(a)$ (même intégrale sur un domaine plus petit).