Système d’équations dans C

etanche · February 2022

Bonjour

Existe-t-il $x,y \in \C$ solutions du système

$x^2(3-2x)+y^2(3-2y)=5 , x(1-x)+y(1-y)=\frac{1}{6}$

Merci

Rescassol · February 2022

Bonjour,

Question doublon, déjà posée.

Cordialement,
Rescassol

Dom · February 2022

Je crois que la question a plutôt été déplacée pour créer un nouveau fil.

etanche · February 2022

C’est pas Un doublon ici on cherche à voir s’il y a des solutions dans $C$ les nombres complexes.

Chaurien · February 2022

Je n'ai pas vu passer ce système précédemment.

On peut poser $x+y=S$, $xy=P$, et on trouve que $S$ est solution d'une équation du troisième degré.

gebrane · February 2022

@Chaurien On veUt ton verdict, cette équation est résoluble oui ou non dans $\C$,

Chaurien · February 2022

Réponse à Gebrane. L'ennui c'est que je suis sujet aux fautes de calcul.

Sollicitant votre indulgence, j'écris le système : $3(x^2+y^2)-2(x^3+y^3)=5, \quad(x+y)-(x^2+y^2)= \frac 16$.

Si je pose comme j'ai dit : $x+y=S$ et $ xy=P$, il vient : $x^2+y^2=S^2-2P,\quad x^3+y^3=S(S^2-3P)$.

Le système devient : $3(S^2-2P)-2S(S^2-3P)=5, \quad S-(S^2-2P)= \frac 16$.

Soit : $P=\frac 12 S^2-\frac 12 S +\frac 1{12},\quad -2S^3+3S^2+6P(S-1)=5$.

On remplace $P$ dans la seconde équation par son expression donnée par la première, et l'on obtient :

$2S^3-6S^2+21S-11=0$, à vérifier.

Si le calcul est bon, on étudie la fonction réelle à variable réelle $x \mapsto F(x)=2x^3-6x^2+21x-11$. Fonction strictement croissante, qui a un seul zéro réel $\xi$, élément de $]0,1[$. Ce réel $\xi$ donne la valeur de $S$, et on en déduit $P=\frac 12 S^2-\frac 12 S +\frac 1{12}$. Le système aura une solution réelle si et seulement si $S^2-4P \ge 0$, et avec le peu de moyens numériques dont je dispose il me semble que c'est le cas.

Si mes calculs sont bons, il y a une solution réelle au système proposé, unique à permutation près des inconnues.

De plus, le polynôme $F(x)=2x^3-6x^2+21x-11$ a deux zéros complexes conjugués. Chacun d'eux donne une valeur complexe de $S$, on en déduit $P=\frac 12 S^2-\frac 12 S +\frac 1{12}$, et comme le nombre complexe $S^2-4P $ a toujours au moins une racine carrée complexe, le système proposé a une solution complexe non réelle, unique à permutation près des inconnues.

Tel est mon « verdict », que j'énonce en tremblant car mes calculs doivent être vérifiés.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

gebrane · February 2022

@Chaurien , je t'ai posé la question car wolphi donne 5 solutions. Comment savoir s'il dit juste ou s'il délire

https://www.wolframalpha.com/input?i=Complex+solutions+++3(x^2+y^2)-2(x^3+y^3)=5+and++(x+y)-(x^2+y^2)=+1/6

Rescassol · February 2022

Bonsoir,

Je trouve $2S^3 - 6S^2 + 7S - 11=0$ dont les solutions sont environ $\{2.4826 ; 0.2587 \pm 1.4658i \}$

Cordialement,
Rescassol

jandri · February 2022

Je trouve la même équation que Rescassol.

gebrane · February 2022

Bonjour Jandri. As-tu trouvé aussi le même résultat que wolfram? C'est à dire uniquement 5 solutions

jandri · February 2022

Dans $\C$ il y a trois valeurs pour $S$ donc trois couples $(S,P)$ donc trois paires $\{x,y\}$ (ou six couples $(x,y)$) solutions pour le système d'inconnues $x$ et $y$.
Il y aurait cinq solutions si l'une des solutions était de la forme $(x,x)$, c'est-à-dire si elle vérifiait $S^2-4P=0$ mais ce n'est pas le cas ici.

GaBuZoMeu · February 2022

Bonsoir

(Presque) sans calcul : une courbe de degré 2 et une de degré 3 ont six points d'intersection (comptés avec multiplicité) dans le plan projectif complexe (celles-ci n'ont visiblement pas de composante commune). Visiblement aussi il n'y a aucun point d'intersection sur la droite de l'infini. Les six points d'intersection sont donc bien dans le plan affine complexe.

etanche · February 2022

1/ Voici un livre très bien écrit par Alain Chenciner courbes algébriques planes chez springer
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-33708-9
on y trouve le théorème de Bézout sur le nombre de points d’intersection de deux courbes algébriques planes
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Bézout.

2/ Il y a une autre version matricielle de ce système dans la rubrique algèbre https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2329232/equations-matricielles

Chaurien · February 2022

Zut, la faute de calcul que j'avais redoutée s'est produite ! Prophétie autoréalisatrice

?

Il me reste la consolation d'avoir proposé la bonne méthode, sans grand mérite quand on est en face d'un système symétrique.

Les valeurs de $S$ sont donc les zéros du polynôme $F(x)=2x^3 - 6x^2 + 7x - 11$. Fonction strictement croissante sur $\mathbb R$, d'où un seul zéro réel, qui est situé dans $]2,3[$, comme les camarades l'ont trouvé avec leurs puissants moyens de calcul.

On a : $P=\frac 12 S^2-\frac 12 S +\frac 1{12}$, d'où : $S^2-4P=- S^2+2S -\frac 13 = -(S-1)^2+\frac 23<0$, et il n'y a donc pas de solution réelle.

Ensuite, on trouve les solutions complexes comme on l'a dit.

Bon dimanche.

Fr. Ch.