Une fonction intéréssante :)

Quentino37 · February 2022

Bonjour !

Je me suis posé une question,
Que savons nous sur les fonction du type ?
$$P_{n}(a_1,a_2,a_3,...,a_n)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{a_1^k+a_2^k+\cdots+a_n^k}$$
Je n'ai pas réussi à aller plus loin que $\displaystyle P_{1}(a)=\frac{a}{a-1}$ ou faire le calcul de quelques cas particuliers.

Boécien · February 2022

$P_1(1/2)=?$ Sinon je pense qu'on ne sait pas grand chose dès que $n>1$.

$P_2(2,3)=0.8213543871975062489916504769469581...$ n'est pas visiblement exprimable en terme de choses connues. Montrer que c'est irrationnel doit déjà être coton. Même $P_2(2,1)=1.2644997803484442...$ semble inconnu au bataillon à part là.

gebrane · February 2022

Sous étendu pour le calcul de $P_1(a)$, mon champion Q37 suppose que $a>1$

Exercice difficile. On considère des nombres $a_i >0$ et on note $p=\prod_{i=1}^n a_i$. Montrer que

$$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{a_1^k+a_2^k+\cdots+a_n^k}\leq \frac{n-1}{2n} \Big(\frac 1p +1\Big).$$

etanche · February 2022

Le poste de gebrane fait référence à une généralisation d’un exercice olympiade roumaine 2019 voir ici
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1828513p12238140

Voir aussi le post #19 de sqing dans https://artofproblemsolving.com/community/c6h2164799p16073026

gebrane · February 2022

Etanche le roi des liens

Rescassol · February 2022

Bonjour,

C'est bon pour la jointure.

Cordialement,
Rescassol

Une fonction intéréssante :)

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Bonjour!

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