Fonction de classe $C^\infty$ qui tend vers 0 en plus l'infini

D'accord merci. C'est facile à voir sur un dessin mais difficile à expliquer. 

1er cas : $f'(x_0)=0$ alors on prend $x_1=x_0$

2ème cas : $f'(x_0) \ne 0$ et $f(x_0)=0$. Supposons $f'(x_0) >0$
Alors il existe $\eta >0$ tel que $f$ soit strictement positive dans un voisinage $]x_0,x_0+\eta]$. Donc $\boxed{f(x_0+\eta) >0}$
Mais $f$ tend vers $0$ en plus l'infini donc il existe $x_1 > x_0+ \eta$ tel que $f(x_1) < f(x_0+\eta)$. 
Ainsi, $f$ est localement décroissante et il existe $x_0 \leq x_2  \leq x_1$ tel que $f'(x_2) \leq 0$.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $x_3 \in [x_2,x_0]$ tel que $f'(x_3)=0$.

3ème cas : $f(x_0) f'(x_0) >0$.
Supposons que $f(x_0)>0$ et $f'(x_0) >0$. Sinon on refait le même travail avec $-f$.
$f$ est croissante dans un voisinage à droite de $x_0$.
Comme $f$ tend vers $0$ en plus l'infini, il existe $x1 > x_0$ tel que $f(x_1) < f(x_0)$.
Ainsi, d'après le théorème de Rolle, $f$ étant continue et dérivable sur $\R$, il existe $x_2 \in ]x_0,x_1[$ tel que $f'(x_2)=0$.

Pour la question $2$ ça veut dire quoi concrètement une fonction dont la dérivée k-ième s'annule ? 
Je suppose que c'est une récurrence sur $k \in \N^{*}$. L'initialisation a déjà été démontrée.
Supposons que pour $k$ fixé, on ait $f^{(k)} (x_k)=0$. 
Si par l'absurde,  $f^{(k+1)} $ ne s'annule pas sur $]x_k,+ \infty [$, alors $f^{(k)}$ serait strictement monotone avec une limite non nulle en plus l'infinie. 
On peut supposer que $f^{(k)}$ est strictement croissante, alors sa limite vaut soit $\ell >0$ soit $+\infty$.
Mais après je bloque.

Ce résultat doit être démontré sinon le corrigé est inutile il évite le point délicat. 

En fait c'est plutôt logique que si la pente est de plus en plus grande, la fonction tend vers plus l'infini. 
Je vais traiter un seul cas. Supposons que $\ell >0$.
Comme $f'$ tend vers $\ell$ en plus l'infini, on peut prendre $\varepsilon= \ell /2>0$.
Il existe $M \in \R$ tel que $x \geq M \implies  \ell /2 \leq f'(x) \leq 3 \ell /2$
On intègre entre $0$ et $x$, ce qui donne $\dfrac{ \ell}{2} x  \leq f(x) -f(0) \leq \dfrac{ 3 \ell}{2} x$
Ainsi, $\exists M \in \R \ x \geq M \ \implies f(x) \geq f(0)+ \dfrac{\ell}{2} x$
Fixons $A \in \R$. Il suffit de prendre $x \geq M'= \max(M, \dfrac{2}{ \ell} ( A -f(0)) )$ pour obtenir $f(x) \geq A$.
On a montré que $\forall A \in \R \ \ \exists M'  \in \R \ \ x \geq M' \implies f(x) \geq A$.
Ce qui montre que $f$ tend vers plus l'infini au voisinage de plus l'infini.

Ok pour ton exemple mais du coup je n'ai pas compris ce que signifie concrètement sur un dessin que $f'(x)$ tend vers $1$ quand $x$ tend vers $+\infty$.