Convergence d'une série vers zéro
Bonjour,
Soit $u^\epsilon \to u$ dans $L^2$ quand $\epsilon\to 0$, avec $\|u\|_{L^2}<1$. On considère deux bases hilbertiennes de $L^2$, $(f_n)$ et $(f_n^\epsilon)\, $, où $f_n^\epsilon \to f_n$ dans $L^2$, pour tout $n \in \N$.
Je veux montrer que $$
\sum_{n=0}^\infty\big\lvert\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon\rangle -\langle u \mid f_n\rangle \big\rvert^2 \to 0\,, \quad \epsilon\to 0\,.
$$ Il est évident de voir qu'on a convergence de $\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon\rangle $ vers $\langle u \mid f_n\rangle $. Par contre, je n'arrive pas à montrer que la série ci-dessus est normalement convergente...
Merci d'avance !
Edit: Comme $u^\epsilon \to u$ alors on devrait avoir $\|u^\epsilon\|_{L^2} \to \|u\|_{L^2}$, c'est-à-dire $$
\sum_{n=0}^\infty\big\lvert\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon\rangle \big\rvert^2 \to \sum_{n=0}^\infty\big\lvert\langle u \mid f_n\rangle \big\rvert^2 \,,
$$ je me demande si ça pourrais aider...
Soit $u^\epsilon \to u$ dans $L^2$ quand $\epsilon\to 0$, avec $\|u\|_{L^2}<1$. On considère deux bases hilbertiennes de $L^2$, $(f_n)$ et $(f_n^\epsilon)\, $, où $f_n^\epsilon \to f_n$ dans $L^2$, pour tout $n \in \N$.
Je veux montrer que $$
\sum_{n=0}^\infty\big\lvert\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon\rangle -\langle u \mid f_n\rangle \big\rvert^2 \to 0\,, \quad \epsilon\to 0\,.
$$ Il est évident de voir qu'on a convergence de $\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon\rangle $ vers $\langle u \mid f_n\rangle $. Par contre, je n'arrive pas à montrer que la série ci-dessus est normalement convergente...
Merci d'avance !
Edit: Comme $u^\epsilon \to u$ alors on devrait avoir $\|u^\epsilon\|_{L^2} \to \|u\|_{L^2}$, c'est-à-dire $$
\sum_{n=0}^\infty\big\lvert\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon\rangle \big\rvert^2 \to \sum_{n=0}^\infty\big\lvert\langle u \mid f_n\rangle \big\rvert^2 \,,
$$ je me demande si ça pourrais aider...
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Réponses
\sum_ {n=0}^\infty ( a_n^\epsilon-a_n ) \to 0\quad ?$$
Ici comme $\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon \rangle \to \langle u\mid f_n \rangle$, alors pour $\epsilon$ assez petit on a $\lvert\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon \rangle \rvert<2 \lvert\langle u\mid f_n \rangle\rvert$ et donc $$
\sum_{n=0}^\infty\big\lvert\langle u^\epsilon \mid f_n^\epsilon\rangle -\langle u \mid f_n\rangle \big\rvert^2 \lesssim \sum_{n=0}^\infty \lvert\langle u \mid f_n\rangle\rvert^2 =\|u\|_{L^2}^2?
$$