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Fonctions réciproques définies sur des ensembles infinis ...

Julia PauleJulia Paule
Modifié (February 2022) dans Fondements et Logique
Titre initial : "Fonctions réciproques définies sur des ensembles infinis sauf en un nombre fini de points"
[Le titre doit être informatif mais court. Le corps du message est là pour les développements. AD]

Bonjour,
Je bloque sur un passage de mon cours.
Soit $C$ et $D$ deux ensembles infinis, $\varphi : C \rightarrow D$ et $\psi : D \rightarrow C$ deux fonctions définies sur $C$ et $D$ respectivement sauf éventuellement en un nombre fini de points, telles que $\psi \circ \varphi = Id_C$ et $\varphi \circ \psi = Id_D$ partout où $\varphi \circ \psi$ et $\psi \circ \varphi$ sont définies.
Alors mon cours conclut que $\varphi$ et $\psi$ ne sont pas constantes.
Je ne vois pas ce qui l'empêche : cas où $\varphi$ et $\psi$ sont constantes, et chacune non définie sur l'image de l'autre, définie partout ailleurs ?
Il me semble qu'il faut rajouter des hypothèses : que $\psi \circ \varphi = Id_C$ par exemple soit définie en au moins un point.
Merci d'avance.

Réponses

  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (February 2022)
    EDIT : Un point parait suffisant. Qu'en pensez-vous ?
  • gai requingai requin
    Que penser de $\varphi=\psi:\N^*\to\N$, $n\mapsto 0$ ?
  • Julia PauleJulia Paule
    Si $\varphi = \psi$, alors $C=D$, cet exemple ne vérifie pas les hypothèses ? Donc je le comprends en $C=N, \varphi$ défini sur $N^*$, constante égale à $0$, idem pour $\psi$. Les deux sont constantes.
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (February 2022)
    Il s'agit du livre (assez classique) "Basic Algebric Geometry 1" d'Igor Shafarevich page 12 : https://userpage.fu-berlin.de/aconstant/Alg2/Bib/Shafarevich.pdf.
    Pouvez-vous confirmer qu'il y a bien une erreur ?
    Par ailleurs, un point $p \in C$ tel que $\psi \circ \varphi(p)=p$ ne parait pas suffisant (ni même quelques-uns) pour empêcher les fonctions d'être constantes : $\varphi$ peut être constante d'image $\varphi(p)$ pour les points (en nombre infini) sur lesquels $\varphi$ est défini, et $\psi(D \setminus \{\varphi(p) \})$ est un ensemble fini de points de $C$ sans image par $\varphi$.
    J'ai du mal à croire à une telle erreur dans ce livre.
    Y a-t-il un moyen pour rendre vraie cette affirmation ?
    EDIT : n'importe quoi, un point tel que $\psi \circ \varphi(p)=p$ est suffisant pour la rendre vraie.
  • Julia PauleJulia Paule
    Personne, j'en conclus qu'il y a bien une erreur.
    En réalité, je pense que ce cas de figure ne serait pas possible dans ce contexte, où $C$ et $D$ sont deux courbes algébriques et $\varphi$ et $\psi$ sont des applications rationnelles entre ces courbes, donc continues sur leur ensemble de définition.
    Pour reprendre l'exemple de gai requin, que je remercie, en prenant $C=D=$ cercle d'équation : $x^2+y^2=1$, $\varphi$ la fonction qui envoie $C \setminus { \{(-1,0) \}}$ sur le point $(1,0)$ de $D$, et $\psi$ celle qui envoie $D \setminus { \{(1,0) \} }$ sur le point $(-1,0)$ de $C$, qui produisent donc un déchirement, il me semble que ceci ne serait pas possible avec des applications rationnelles (un ouvert serait envoyé sur un fermé).
    Donc l'affirmation n'est pas fausse, c'est la démonstration qui l'est, à ce stade du livre où les notions de topologie et continuité n'ont pas été abordées (je ne sais pas si elles le seront).
    Reste à démontrer que des applications rationnelles sont continues, donc la composée est continue, et je crois qu'on peut appliquer le théorème du point fixe (il en existe au moins un).
    Bref.
  • gai requingai requin
    Bonjour Julia.
    Cela me fait penser à un théorème qui dit que toute application rationnelle entre deux courbes algébriques est définie partout !
    Exemple : Soit $V$ la variété de $\mathbb P^2(\mathbb Q)$ définie par $X^2+Y^2=Z^2$ et $\varphi:V\to \mathbb P^1(\mathbb Q)$, $[X,Y,Z]\mapsto [X+Z,Y]$.
    Montrer que $\varphi$ est définie en $[1,0,-1]$ !
  • Julia PauleJulia Paule
    Merci gai requin. C'est un exemple entre variétés projectives (que je n'ai pas encore vues), je suis dans les variétés algébriques. Mais bon, les applications coordonnées sont de toute évidence rationnelles sans dénominateurs (i.e. polynomiales), donc définies partout, après je ne sais pas comment fonctionnent les applications rationnelles entre variétés projectives.
  • Julia PauleJulia Paule
    Ah ça y est, l'affirmation suivante de mon cours permet d'y voir plus clair, pas besoin de continuité ni de topologie : une application rationnelle $D \rightarrow C$ constante est définie sur $D$ tout entier.
    ... à condition que ses applications coordonnées soient définies partout où les dénominateurs ne s'annulent pas ...
    Moyennant cette hypothèse, l'affirmation du 1er message de ce fil devient vraie.
  • gai requingai requin
    Les coordonnées projectives d'un point ne peuvent en aucun cas être toutes nulles.
    D'où un vrai problème pour l'image de $P=[1,0,-1]$ mais on peut trouver ce qu'on appelle une formule-relai qui permet de définir $\varphi$ en $P$ whatsoever !
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (February 2022)
    Ah oui j'avais oublié. Alors il faut trouver un représentant (j'imagine) des applications coordonnées de $\varphi$ dans leur classe d'équivalence (de la même façon que les fonctions rationnelles définies sur une courbe algébrique le sont modulo l'équation de la courbe) qui est défini en ce point.
  • gai requingai requin
    Quelque chose comme ça.
    Sur $V$, on a $\dfrac{X+Z}Y=\dfrac Y{Z-X}$ donc $\varphi([X,Y,Z])=[Y,Z-X]$ (formule-relai) donc $\varphi(P)=[0,1]$.
    Rigolo non ?
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (March 2022)
    Merci gai requin. $\varphi(P)=[0,-2]=[0,1]$.
    Cela marche car j'imagine qu'on a une classe d'équivalence pour l'application, et on peut prendre n'importe quel représentant pour le calculer.
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (March 2022)
    Cela me donne à réfléchir, on a le même schéma pour les courbes algébriques affines.
    Par exemple la courbe rationnelle $C$ d'équation $x^2+y^2-1=0$ et l'application rationnelle de $C$ sur la droite $D$ d'équation $x=0$ : $(x,y) \mapsto (0, \dfrac{1-x}{y})$.
    Alors le point $(1,0)$ a une image : $0$, car $[\dfrac{1-x}{y}]=[\dfrac{y}{1+x}]$ sur $C$.
    Par contre le point $(-1,0)$ n'a pas d'image. En effet, l'application rationnelle est la projection depuis ce point des points de $C \setminus (-1,0)$ sur la droite $x=0$.
  • gai requingai requin
    Et cette projection envoie $(-1,0)$ sur $\infty_D$.
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (March 2022)
    En projectif.
    En algébrique, $\infty \notin$ corps de base.
  • gai requingai requin
    $(1,0)\in D$ non plus ;)
  • Julia PauleJulia Paule
    Je n'ai parlé pour l'image de $(1,0)$ que de la 2ème coordonnée (le coefficient directeur de la droite passant par les deux points, le centre de la projection et le point projeté), si c'est ce que tu veux dire.
  • gai requingai requin
    Modifié (March 2022)
    L'inverse de ton application est $(0,t)\mapsto \left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\dfrac{2t}{1+t^2}\right)$.
    On peut récupérer $(-1,0)$ si on s'autorise $t=\infty$.
    Ceci prouve que le cercle est une courbe rationnelle (ou unicursale), i.e. de genre $0$.
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (March 2022)
    $C$ est birationnellement équivalente à une droite, donc est rationnelle, toujours dans le domaine algébrique, la bijection se définissant "sauf un nombre fini de points". Ici on exclut à gauche le point $(-1,0)$, et à droite $t=\pm i$ pour obtenir une bijection (si le corps de base est de caractéristique différente de $2$, je n'ai pas étudié ce cas, il me semble que $C$ n'est plus rationnelle).
    J'imagine que quand on passe dans le domaine projectif, on peut définir des points à l'infini, donc le fait que les dénominateurs s'annulent n'est plus un problème, et la bijection peut s'effectuer sans exclusion de points.
  • gai requingai requin
    Oui, l'inverse de $\varphi$ définie ici est $(U,V)\mapsto (U^2-V^2,2UV,U^2+V^2)$ qui est définie partout.
    C'est tellement plus agréable de travailler dans le projectif !
  • Julia PauleJulia Paule
    Modifié (March 2022)
    Oui, cela donne un résultat plus simple, mais je trouve très intéressant aussi ce travail dans le plan affine, d'avoir eu l'idée de s'attaquer aux coordonnées pour dire qu'on peut passer naturellement (à l'aide de fonctions rationnelles) d'un cercle à une droite, et inversement, à quelques points près. Cela me fait penser au résultat de la topologie algébrique, démarrée sous un autre angle.
  • Julia PauleJulia Paule
    Ah on retrouve les triplets pythagoriciens ! Intéressant aussi. Cela donne l'impression que c'est souvent le même sujet (le théorème de Fermat) qui a motivé la recherche !
  • gai requingai requin
    Modifié (March 2022)
    Avec en point d'orgue le théorème de modularité en entrée du programme de Langlands !
    De très très belles mathématiques !
  • Julia PauleJulia Paule
    J'ai rectifié plus haut : il s'agissait de la projection de centre $(-1,0)$ sur la droite $x=0$ (et pas $x=1$) !
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