Cosinus hyperbolique et nombres rationnels

etanche

February 2022 Modifié (February 2022) dans Arithmétique

Bonjour 

$x>0$, soit $n \in N$, tels que si $\cosh(nx), \cosh((x+1)n)$ sont des nombres rationnels.

Montrer que $\cosh(x)$ est un nombre rationnel.

Merci 

Réponses

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  Chaurien

  February 2022 Modifié (February 2022)

  Polynômes de Tchebychev I. C'est plutôt $\cosh (n+1)x$, non ?
  
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  etanche

  February 2022

  Existe-t-il des exercices analogues avec les fonctions sinus ou sinus hyperboliques ou tangentes ou tangentes hyperboliques ?
  Merci 
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  Chaurien

  February 2022 Modifié (February 2022)

  Pour la question initiale, on peut même affirmer que si $n $ est entier, $n \ge 2$, si $\theta$ est réel, $\theta>0$, si  $\cosh n \theta$ et $\cosh (n+1) \theta$ sont entiers, alors $\cosh \theta$ est entier.

  Je posais ce problème en Math. Sup il y a trente ans, et par la suite j'ai rédigé un corrigé que voici.

  Bonne soirée.

  Fr. Ch.

  Cosh Consec.pdf 30.2K
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  etanche

  February 2022 Modifié (February 2022)

  Merci Chaurien pour le partage du fichier.

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