Racines d’un polynôme particulier

Pour la première question, on peut dire un peu ce qu'on veut, mais la 2ème question nous rement dans le droit chemin.
La réponse attendue est clairement : P' s'annule sur [-1,1]

Pour la 2ème question, clairement, il faut trouver un contre-exemple : un polynôme tel que P(1) = P(-1) , dont la dérivée ne s'annule pas sur le segment [-1,1]

Par exemple un polynôme de la forme P(x) = R(X) + i I(x) 
R et I sont des polynômes à coefficients réels, R et I s'annulent forcément entre-1 et 1, mais pas forcément au même endroit.

Tout ça, c'est la mise en bouche. 
La dernière question est nettement plus compliquée.