Leçon 101 agreg interne
Bonjour à tous
Étant actuellement en train de travailler la leçon 101 je me pose une question :
Est-ce que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique ??
Si quelqu'un peut m'éclairer ...
Merci d'avance.
Étant actuellement en train de travailler la leçon 101 je me pose une question :
Est-ce que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique ??
Si quelqu'un peut m'éclairer ...
Merci d'avance.
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Réponses
Si $x$ est un générateur de $G$ notre groupe cyclique.
Soit $S$ l'ensemble des $n \in \Z$ tels que $x^n \in H \le G$ (avec $H$ notre sous-groupe de $G$.
Alors $S$ est un sous-groupe de $\Z$. Il s'écrit donc $S = d \cdot \Z$, pour un certain entier $d \in N$.
On montre alors que $H$ est engendré par $x^d$.
Autre chose qui m’embête : Je considère G une groupe fini et "a" un élément de G d'ordre m. On a le résultat suivant:
m est le plus petit entier naturel non nul tel que a^m=1 .
Dans la preuve que j'ai, on démontre que l'ensemble {a, a², ..., a^m+1} possède au moins deux éléments égaux... Je ne vois pas pourquoi.
Une idée ?
J'imagine que la définition qui sert de contexte à cette démonstration est :
l'ordre de $a$ est le cardinal (ordre) du sous-groupe $\langle a\rangle$ de $G$ engendré par $a$.
Dans ce cas, comme l'ensemble $\{a,a^2,\ldots,a^{m+1}\}$ est inclus dans $\langle a\rangle$, son cardinal est $\le m$.
Il ne peut donc pas y avoir $m+1$ éléments, et (principe des tiroirs) au moins $2$ des puissances $a^i,a^j$ de $a$ sont donc égales.
Ensuite, on prend le quotient de ces deux-là, qui vaut $e$ = l'élément neutre, et on a $a^{i-j}=e$.
Reste à montrer que l'ordre de $a$ est le plus petit exposant qui donne une puissance $=e$.
En d'autres termes que $i=1,j=m+1$, ou l'inverse.
je regarde maintenant une preuve d'un autre résultat :
Si G groupe cyclique d'ordre n et "a" un générateur de G alors tout sous-groupe de <a> est cyclique.
pour la preuve on considère H n sous groupe de <a>. Si H={1} c'est ok. Sinon il existe l dans N* tel a^l soit dans H.
Donc l'ensemble des k tel que a^k=1 admet un minimum d ( car non vide et minoré )
Ensuite comme H est un groupe <a^d> est inclu dans H. Il faut donc montrer l'inclusion inverse.
Soit donc a^k dans H. On fait la division euclidienne de k par d et on a k=dq+r avec 0<=r<d
donc r=k-dq et donc a^r=(a^k)(a^-dq) qui appartient à H ((puisque a^-dq est dans <a^d>))
Jusque la ca va mais je vois pas en quoi cela contredit la minimalité de d sauf si r=0.....
Ensuite on a $a^r=0$ avec $0 \leqslant r <d$
Si $r \ne 0$ alors $r<d$ et $r \geqslant d$ par minimalité de $d$: absurde. Donc $r=0$ et $k$ est bien un multiple de $d$.
En fait il y avait une coquille dans le définition de d... il fallait prendre la relation "a^k appartient à H" et non pas a^k=1...
D'où la contradiction avec le fait que a^r appartienne à H tout en ayant r<d
Je ne comprends pas trop l'intérêt (de la formulation) du résultat que tu annonces.
> Si G groupe cyclique d'ordre n et "a" un générateur de G alors tout sous-groupe de <a> est cyclique.
Si $a$ engendre $G$,alors $\langle a \rangle = G$, non ?
Ce résultat était ta question originale au tout début du fil :
> Est-ce que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique ??
Oui tu as raison cela parait un peu bizar tel que présenté dans la discussion.
Au début je me suis posé la question initiale, ensuite tu y a répondu et en continuant mes recherches j'ai retrouvé l'énonce avec lequel j'ai un petit souci pour la preuve.
Je nais pas si c'est clair dit comme sa mais on est d'accord que les deux formulations veulent dire la même chose
en fait je me suis mal exprimé quand j'ai dit que je regardais la preuve d'un autre résultat.... tout n'étais pas encore clair dans mon esprit au moment où j'ai posté ce message.
Personnellement, j'aime mieux ma preuve en remontant au groupe $\Z$.
En effet, un générateur $a$ de $G$ donne un morphisme de groupe surjectif
$\phi_a : \Z \to G$, associant à $k\in\Z$, l'élément $\phi_a(k) = a^k \in G$.
Ensuite, tout ce qui se passe dans $G$ peut se tirer en arrière.
On a : $\phi_a^{-1}(\{e_G\}) = \ker(\phi_a) = n \cdot \Z$, pour $n \in \N$ l'ordre du groupe $G$.
De même, $\phi_a^{-1}(H) = d \cdot \Z$, et alors $H = \langle a^d \rangle$.
On a de plus la divisibilité $d | n$, et l'ordre de $H$ est alors $\frac{n}{d} \in \N$.
Tout ce que je raconte de façon abstraite ici est en fait tout à fait limpide si on écrit nos groupes cycliques comme des groupes d'entiers modulaires $G = \Z / n \Z$.
La surjection $\phi$ est simplement l'application $k \mapsto k [\mod n]$
Je m'en vais de ce pas travailler la leçon correspondante pour avoir les idées claires dessus et donc mieux comprendre le sens de ta preuve..... pas évident avec tous les conseils de classe en vue....arffff
En tout cas je te remercie pour ton intéret
Cordialement
En effet,le risque est de perdre du temps dans toutes les propriétés.
Je trouve que le livre de Josette Calais est bien pour cette leçon.
Avec cette leçon, quelqu'un qui est vraiment bon en algèbre peut facilement monter très haut. Même avec un petit niveau, on peut largement remplir le quart d'heure avec des propriétés intéressantes sur les groupes cycliques, donc je pense qu'il ne faut pas perdre de temps à écrire les axiomes des groupes etc. Citer rapidement une propriété en passant, c'est autre chose.
Enfin,je ne redonne donc pas la définition de l'ordre d'un élément.
Bon, c'est un usage très répandu et ce n'est pas non plus sur ce choix que va se porter complètement la note de la prestation.
On peut aussi, pendant l'oral, écrire : "Définition : ordre d'un élément" et dire "je ne rappelle pas la définition pour des questions de temps".
Il existe plusieurs leçons comme ça.
D'autres exemples :
"Définition : familles libres, génératrices, bases", "je ne les écris pas pour des raisons de temps".
Bien entendu, si la définition est dans le cœur de la leçon, il faut l'écrire proprement.
Le rapport du jury 2021 répond assez explicitement aux dernières interrogations soulevées.
Il préconise d'aller assez vite sur les connaissances préalables et sur les définitions et notations élémentaires.
Il rappelle également que le jury n'attend pas qu'au tableau tout soit entièrement détaillé, seulement les énoncés clef de la leçon.
En prime je crois me souvenir que le mot "prérequis" y figure noir sur blanc.
Alacool.