Localisation des racines d’un polynôme (ENS)

La question 2 peut induire en erreur : il s’agit d’une inégalité générale sur les racines d’un polynôme (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_d'un_polynôme_réel_ou_complexe#Une_première_estimation ). Il ne faut donc pas chercher à exploiter absolument la forme particulière de $P$ dans cette question.

Pour la question 3, je pense qu’il peut partir de $|z^n|= |z^n -P(z)|$, puis majorer convenablement.

Pour la question 4, tu peux calculer $n P(r) - rP’(r)$. Il me semble que l’on peut aussi s’en sortir en utilisant la fonction $x\mapsto P(x)/x^n$ sur $]0, +\infty[$.

Il n’y a que besoin de l’expression de la somme des termes d’une suite géométrique. Si $z\in\mathbb{C}$ est une racine de $P$ telle que $|z|>1$ (l’autre cas est trivial), alors on a
\[ |z|^n \leq \sum_{k=0}^{n-1} |a_k| |z^k| \leq \big(\max_{k=0}^{n-1}|a_k|\big)\times \dfrac{|z|^n-1}{|z|-1} \leq \big(\max_{k=0}^{n-1}|a_k|\big)\times \dfrac{|z|^n}{|z|-1},\] d’où le résultat.

Il suffit de diviser par $|z|^n>0$ et de multiplier par $|z|-1>0$ l’inégalité précédente.