Localisation des racines d’un polynôme (ENS)
Bonsoir, je peine à résoudre cet exercice à partir de la question 2, quelqu’un pourrait il m’aider ?
Pour la première question, j’ai remarqué que P(an-1)<0 puis que si la somme des ai est plus petite que 1, alors P(1)>0. Sinon, P(Somme des ai)>0 et j’applique le TVI. Qu’en pensez vous ?
Pour la première question, j’ai remarqué que P(an-1)<0 puis que si la somme des ai est plus petite que 1, alors P(1)>0. Sinon, P(Somme des ai)>0 et j’applique le TVI. Qu’en pensez vous ?
Merci.
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Réponses
Pour la question 3, je pense qu’il peut partir de $|z^n|= |z^n -P(z)|$, puis majorer convenablement.
Pour la question 4, tu peux calculer $n P(r) - rP’(r)$. Il me semble que l’on peut aussi s’en sortir en utilisant la fonction $x\mapsto P(x)/x^n$ sur $]0, +\infty[$.
\[ |z|^n \leq \sum_{k=0}^{n-1} |a_k| |z^k| \leq \big(\max_{k=0}^{n-1}|a_k|\big)\times \dfrac{|z|^n-1}{|z|-1} \leq \big(\max_{k=0}^{n-1}|a_k|\big)\times \dfrac{|z|^n}{|z|-1},\] d’où le résultat.
pour la 4, j’arrive à montrer que rP’(r)-nP(r) est strictement positif donc la racine est simple, mais je n’arrive pas à faire apparaître r dans la majoration de la 3). Pourriez-vous m’aiguiller davantage la dessus ?