Localisation des racines d’un polynôme (ENS)
Bonsoir, je peine à résoudre cet exercice à partir de la question 2, quelqu’un pourrait il m’aider ?
Pour la première question, j’ai remarqué que P(an-1)<0 puis que si la somme des ai est plus petite que 1, alors P(1)>0. Sinon, P(Somme des ai)>0 et j’applique le TVI. Qu’en pensez vous ?
Pour la première question, j’ai remarqué que P(an-1)<0 puis que si la somme des ai est plus petite que 1, alors P(1)>0. Sinon, P(Somme des ai)>0 et j’applique le TVI. Qu’en pensez vous ?
Merci.
Mots clés:
Réponses
-
La question 2 peut induire en erreur : il s’agit d’une inégalité générale sur les racines d’un polynôme (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_d'un_polynôme_réel_ou_complexe#Une_première_estimation ). Il ne faut donc pas chercher à exploiter absolument la forme particulière de $P$ dans cette question.
Pour la question 3, je pense qu’il peut partir de $|z^n|= |z^n -P(z)|$, puis majorer convenablement.
Pour la question 4, tu peux calculer $n P(r) - rP’(r)$. Il me semble que l’on peut aussi s’en sortir en utilisant la fonction $x\mapsto P(x)/x^n$ sur $]0, +\infty[$. -
Bonsoir et merci pour votre aide. Étant de niveau math spé, m’est il possible de conclure la dernière étape sans le théorème de rouche cité par Wikipedia ?
-
Il n’y a que besoin de l’expression de la somme des termes d’une suite géométrique. Si $z\in\mathbb{C}$ est une racine de $P$ telle que $|z|>1$ (l’autre cas est trivial), alors on a
\[ |z|^n \leq \sum_{k=0}^{n-1} |a_k| |z^k| \leq \big(\max_{k=0}^{n-1}|a_k|\big)\times \dfrac{|z|^n-1}{|z|-1} \leq \big(\max_{k=0}^{n-1}|a_k|\big)\times \dfrac{|z|^n}{|z|-1},\] d’où le résultat. -
J’avais justement réussi ces étapes mais je n’ai pas pu conclure en quoi le résultat est direct après cela, pouvez vous détailler ? Merci
-
Il suffit de diviser par $|z|^n>0$ et de multiplier par $|z|-1>0$ l’inégalité précédente.
-
Merci, j’ai été très mauvais sur ce coup là
pour la 4, j’arrive à montrer que rP’(r)-nP(r) est strictement positif donc la racine est simple, mais je n’arrive pas à faire apparaître r dans la majoration de la 3). Pourriez-vous m’aiguiller davantage la dessus ?Merci encore. -
Si $z\in\mathbb{C}$ est une racine de $P$, alors on a\[ |z^n| = \left|\sum_{i=0}^{n-1} a_i z^i \right| \leq \cdots.\]On en déduit le signe de P(|z|), ce qui permet de conclure en utilisant la définition de $r$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres