Oral Mines-Ponts
Bonjour.
Soient $X$ une variable aléatoire à valeurs positives et $X_1,X_2$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi de $X$. On suppose que $X_1+X_2$ suit la loi de $2X$. Montrer que $X$ est presque surement constante.
Dans le cas où $X$ admet un moment d'ordre $2$, il est facile d'établir que $V(X)=0$. Mais dans le cas général, je sèche. En particulier, je ne vois pas le rôle de " $X$ à valeurs positives ".
Si vous avez des idées, je suis preneur. Merci d'avance.
Si vous avez des idées, je suis preneur. Merci d'avance.
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Réponses
Mais Seulement avec la positivité , je ne vois pas pour le moment comme toi
Je pense qu'on peut plutôt regarder $f(t) := \Phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}]$: on a $f(t)^2 = f(2t)$
L'hypothèse $X$ positive est nécessaire : on peut faire facilement un contre-exemple avec une loi normale de Cauchy (hors-programme de classe prépa).
Édit : Petite correction suite à la réponse de Pomme de terre.
En effet, si $X$ n'est pas presque sûrement constante il existe $a<b$ avec $P(X=a)>0$, $P(X=b)>0$ et $P(X=c)=0$ pour $c\in ]a,b[$.
On a alors $0<P(X=a)P(X=b)\leq P(X_1+X_2=a+b)=P(X=\frac{a+b}2)=0$ d'où une contradiction.