Indécidable et vrai
J'ai lu sous la plume d'Alain Connes que pour les entiers et avec la théorie des ensembles on pouvait parler de proposition indécidables et vraies (ou fausses en prenant la proposition contraire). Prenons par exemple la conjecture des nombres premiers jumeaux : il se peut qu'un logicien prouve qu'elle est indécidable, pourtant en énumérant "on sent" qu'elle a une valeur de vérité vraie ou fausse. Ma question est donc : y a-t-il une preuve écrite qu'un théorème sur les entiers indécidable a une valeur de vérité (ce qui répond à l'intuition) ?
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Réponses
De plus il y a un théorème intéressant sur les formules $\Sigma_1$ et les modèles premiers
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
L'exemple des nombres premiers jumeaux ne rentre pas dans ce cadre (on parle de choses qui arrivent à l'infini: que ce soit la conjecture elle même ou sa négation, pour la prouver il faut prouver "infiniment de choses"- pour confirmer ou infirmer, il faut une infinité de vérifications). En particulier je ne connais pas de théorème général "si machin est indécidable, alors machin est vrai" qui ait pour cas particulier machin = conjecture des nombres premiers jumeaux.
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Au sens de la théorie des modèles (c'est ce qui rend le théorème vraiment puissant) : un modèle premier de T est un modèle de T (merci captain obvious) qui se plonge élémentairement dans tous les modèles de T.
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Modèle premier = pour tout modèle, il existe un plongement élémentaire.
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En effet, s'il est vrai dans M (resp. faux) alors il est prouvable (resp. réfutable). En effet, supposons qu'il est vrai dans M mais pas prouvable. Par le théorème de complétude il existe un modèle N qui nie phi. Mais alors, puisque phi est vrai dans M, il n'existe pas de plongement élémentaire M -> N (ils ne sont même pas élémentairement équivalents !!)
Je raconte des bêtises ?
Il suffit d'une formule existentielle qui peut-être fausse dans le modèle qui se plonge et vraie dans le modèle dans lequel elle se plonge.
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Regardez mon exemple précédent.
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T modèle complète et a un modèle premier ==> T est complète
Si l'hypothèse "modèle complète" est inutile ?
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Mais je suis d'accord que la source du problème doit être la définition de plongement élémentaire. C'est une évidence plate que dans la définition que je connais (pareil que Martial) un plongement élémentaire implique une équivalence élémentaire.
Il serait bon que Médiat nous communique sa définition de plongement élémentaire pour qu'on voie où est le binz (et qu'on se convainque qu'il y a une définition raisonnable pour laquelle $\mathbb N$ est effectivement un modèle premier en ce sens de Péano). Personnellement, je pense que toute définition de "plongement élémentaire" qui n'implique pas équivalence élémentaire est une mauvaise définition, (enfin, plus précisément, elle devrait changer de nom !!), mais bon, on n'est pas à l'abri de surprise.
(Pour ce qui est théorie des modèles, j'ai tout appris de Cori et Lascar et d'internet, et les deux semblent d'accord sur plongement élémentaire, c'est pour ça que j'étais surpris)