Inventeurs ou découvreurs

topalg · February 2022

Bonjour,

Est-ce que vous pourriez m'expliquer pourquoi presque tous les mathématiciens pensent qu'ils sont les découvreurs d'une réalité préexistante ?
Merci d'avance.

Médiat_Suprème · February 2022

Sans doute parce qu'il ne savent pas répondre autrement à une question qui les turlupine "Pourquoi les mathématiques sont identiques pour tout le monde ?" Pour la physique, la réponse est simple : faites l'expérience ! 'Vous aurez compris que je ne fais pas partie de ce "presque tous").

Les maths ne se trouvent pas dans la nature ==> inventées
Historiquement les maths sont parties d'observations ==> découvertes
Dès que l'on a établi des axiomes (inventés) toutes les conséquences sont pré-existantes puisque incluses, de façon éventuellement cachée, dans les axiomes (donc découvertes).
Les mathématiques sont l'ontologie de l'être (thèse de Badiou) mais celle-ci "ne peut se réaliser que dans la forclusion réflexive de son identité", autrement dit elles sont découvertes pour peu que l'on croie les inventer.

Quelques auto-commentaires :

Il va de soi que le mathématicien a une expérience du monde sensible, et une histoire qui le rapproche de ses prédécesseur, donc il ne s'agit pas d'invention ex-nihilo, mais c'est le cas de tous les inventeurs (de l'inventeur du trésor de Rackham le Rouge au concours Lépine).
Dans ma pratique de la recherche, j'ai toujours eu le sentiment d'inventer (et non de "soulever des pierres" (rien de désobligeant dans cette expression)), et je ne serais pas surpris que ce soit le cas de ceux qui font de la physique théorique (que ce soit avant ou après les expériences).
J'ajoute, histoire de justifier le point 1 que les tenants d'un platonisme au pied de la lettre, affirmant que, par exemple IN existait avant les mathématiciens, n'ont jamais pu l'exhiber, et que croire en cette existence est du même ordre que croire en une licorne rose invisible, et que cette croyance élude généralement une question subséquente : si IN a été découvert par les mathématiciens, qui l'a inventé ? Et j'ai peur qu'en partant dans cette direction on fasse, au mieux, de la métaphysique, au pire, de la théologie, mais, en tout état de cause, pas des maths
J'ajoute aussi (afin d'expliciter la remarque : "de façon éventuellement cachée"), concernant le point 3, que même si le grand théorème de Fermat est une conséquence de certains axiomes, j'ai du mal à ne pas accorder à Fermat un statut d'inventeur pour avoir inventé la question, et à accorder le même statut à Wiles pour avoir inventé le chemin qui mène à la démonstration.

Martial · February 2022

@Médiat_Suprême : Tu pourrais STP écrire dans une police plus foncée ? Ce que tu dis est intéressant mais je galère grave pour te lire. Au moins j'ai compris que tu n'es pas platonicien.

@topalg : La question que tu poses est en fait l'éternel débat entre platoniciens et non-platoniciens. Le platonicien va te dire que l'univers mathématique réel existe, et que nous autres, humbles ouvriers, ne faisons qu'en découvrir une infime partie à chaque fois que nous démontrons un théorème. Le non-platonicien va te dire que tout ça c'est du vent, seul existe l'univers physique ( et encore, à travers la perception que nous en avons), et s'il n'y avait pas eu les matheux l'infini n'existerait pas, pas plus que $\mathbb{N}$ ou le nombre complexe $3+2i$. Difficile de dire qui a raison, c'est comme en politique ou en religion, si tu as des opinions différentes de Tartempion tu peux discuter pendant des années avec lui sans qu'aucun des deux ne retourne sa veste.

Perso je me considère plutôt comme un semi-platonicien. Je suis prêt à concéder que $\aleph_{79}$ est une pure invention de l'esprit (plus précisément de l'esprit de Cantor), mais quand même, saperlipopette, un carré ça existe dans l'univers, et la diagonale serait quand même égale à $\sqrt{2}$ fois le côté même s'il n'y avait jamais eu d'homme (en particulier pas de Pythagore) sur la Terre...

Médiat_Suprème · February 2022

@Martial : Volontiers, mais comment faire ? J'ai fait un copier-coller donc la couleur n'est pas volontaire.

Foys · February 2022

Les règles des divers jeux sont inventées et leur conséquences sont découvertes. Le fait qu'il y ait un nul forcé au morpion est une découverte par exemple. La règle du morpion est une invention. En maths le même phénomène a lieu.

Mathurin · February 2022

Il y a, à mon avis, deux problèmes:

- ce que l'on appelle réalité

- le sens restreint où une partie des mathématiques peut être dite réelle.

Le premier est discriminant ; le dictionnaire philosophique de Lalande n'est pas très clair à l'article "réel". Il ne sert à rien de dire qu'est réel "ce qui existe".

Si l'on définit le réel par "ce qui est à l'origine de nos 5 sens, éventuellement instrumentés", alors il n'y a rien de réel dans les maths.

Si l'on définit le réel par "ce qui résiste à notre volonté", alors une partie des maths sont réelles.

Le second problème précise ce qui dans les maths peut être réel. Il s'agit non des objets abstraits, qui sont définis dans une certaine théorie axiomatique, mais des démonstrations qui existent moyennant des règles logiques prédéfinies et une axiomatique particulière.

Il reste dans tous les cas une partie inventée dans les maths : l'Homme se promène dans une forêt préexistante, mais il invente ses propres chemins.

je rejoins ici Foys.

La question de la réalité des théories physiques est toute autre. Elles ne sont que des approximations inventées d'une correspondance existante mais cachée entre le monde sensible et une partie de la réalité mathématique.

Mais tout cela ce n'est pas des maths, c'est donc discutable... j'ai essayé d'être clair.

Martial · February 2022

@Médiat-Suprême : OK, no souci, j'ai quand même compris l'essentiel. Et puis ça devrait s'arranger la semaine prochaine, quand j'aurai changé de lunettes.

Boécien · February 2022

Dans "Récoltes et semailles" on trouve ce genre de chose.

En maths, les choses "évidentes", ce sont celles aussi sur lesquelles tôt ou tard quelqu’un doit tomber. Ce ne sont pas des "inventions" qu’on peut faire ou ne pas faire. Ce sont des choses qui sont déjà là depuis toujours, que tout le monde côtoie sans y faire attention, quitte à faire un grand détour autour, ou à passer par dessus en trébuchant à tous les coups. Au bout d’un an ou de mille, infailliblement, quelqu’un finit par faire attention à la chose, à creuser autour, la déterrer, la regarder de tous côtés, la nettoyer, et enfin lui donner un nom. Ce genre de travail, mon travail de prédilection, un autre chaque fois pouvait le faire, et ce qui plus est, un autre ne pouvait manquer de le faire un jour ou l’autre.

Médiat_Suprème · February 2022

Je voudrais ajouter quelques points.

Être platonicien ou non platonicien n'est pas une question mathématique, mais philosophique (certains diront religieuse)
Un platonicien et un non platonicien font les mêmes mathématiques, avec le petit hiatus illustré par : Se demander si l'hypothèse du continu est vraie ou non (comme Woodin) est une question de platonicien, associer cette question au sexe des anges (comme Krivine) est une réponse de formaliste.
Est-ce que Woodin se serait posé cette question s'il n'avait été platonicien ? Sans doute pas. Est-ce que les travaux sur la $\Omega$ -logique aurait pu être développés sans la question initiale (de Woodin) ? Difficile à dire. Est-ce que ces travaux (incontestablement mathématiques) sont essentiels aux mathématiques ? Krivine répond qu'il y a des questions plus importantes (et donc des réponses plus pertinentes).
J'ajoute. Est-ce que les résultats auraient été les mêmes par un formaliste : OUI !
Ne pas oublier les variantes : platoniciens universistes ou multiversistes (et autres).

zeitnot · February 2022

Compter me semble assez naturel et j'aime imaginer que peut-être quelque part dans une autre galaxie, on fait aussi de l'arithmétique et que l'on utilise aussi les nombres premiers par exemple.

Médiat_Suprème · February 2022

zeitnot a dit :

Compter me semble assez naturel

Normal, dans la mesure où vous êtes humains (si je me trompe, n'hésitez pas à me corriger) et que, par définition, nous ne pouvons pas imaginer des solutions qui sont au-delà de nos capacités et possibilités humaines.

umrk · February 2022

SI, par "compter", tu veux dire "énumérer", OK on peut admettre que c'est simple (dans le cas fini ..) . Mais "mesurer", ça parait également simple, et pourtant .....

Dom · February 2022

Dans une autre galaxie peut-être sont-ils déjà en train d’étudier $\aleph_\pi$.

nicolas.patrois · February 2022

Médiat_Suprème a dit :
Normal, dans la mesure où vous êtes humains (si je me trompe, n'hésitez pas à me corriger) et que, par définition, nous ne pouvons pas imaginer des solutions qui sont au-delà de nos capacités et possibilités humaines.

Les complotistes y arrivent tous les jours, eux (les ’pataphysiciens aussi).

Médiat_Suprème · February 2022

Je suis un grand fan de Jarry, Vian et en général de la pataphysique, mais même les meilleurs ne peuvent imaginer ce qui est au-delà de nos possibilités d'imagination.

nicolas.patrois · February 2022

Je ne sais pas ce qui est au-delà de nos possibilités d’imagination.

Médiat_Suprème · February 2022

C'est bien le point, encore une fois, par définition.

nicolas.patrois · February 2022

C’est pour moi une définition qui n’apporte rien, comme celle du bon dieu.

Médiat_Suprème · February 2022

Bon, je crois que vous ne comprenez pas, mais comme ma remarque initiale s'adressait à zeitnot, ce n'est pas grave.

nicolas.patrois · February 2022

Je vois très bien quelles peuvent être nos limites physiques ou intellectuelles.

Pour l’imagination, en revanche, je ne vois pas bien.

Médiat_Suprème · February 2022

@Martial : je pense avoir résolu le problème en éditant en mode HTML

Martial · February 2022

@Médiat_Suprême : OK, merci. Je suis assez d'accord avec ton analyse. Juste un point, quand tu dis que tu penses que les résultats auraient été les mêmes par un formaliste. Tu réponds : "je pense que oui". Moi j'ajouterais : "oui, mais à condition que les questions aient été posées". Je m'explique.

Si j'ai bien compris, Krivine dit en substance : "Voyez les gars, Cohen a démontré que tous les modèles se valent. Donc le business s'arrête là. Maintenant, si vous n'avez rien d'autre à faire personne ne vous empêchera d'étudier les modèles où $2^{\aleph_0} = \aleph_{175}$, ni ceux où en plus l'axiome de Martin est vrai jusqu'à $\aleph_{43}$. Mais moi j'ai des trucs plus importants à régler, alors salut !"

Donc je pense qu'un formaliste comme lui n'aurait jamais étudié la $\Omega$-logique ou des questions de ce genre. Woodin l'a fait parce que, vu sous un angle strictement platonicien, il veut absolument donner une valeur au continu. Il a inventé la $\Omega$-logique pour essayer de justifier $2^{\aleph_0} = \aleph_2$, puis il en est revenu et s'est ensuite attaqué au programme des modèles intérieurs pour essayer de justifier HGC.

Médiat_Suprème · February 2022

Martial a dit :

Moi j'ajouterais : "oui, mais à condition que les questions aient été posées".
Donc je pense qu'un formaliste comme lui n'aurait jamais étudié la $\Omega$-logique ou des questions de ce genre.

Tout à fait d'accord, c'est pour cela que j'ai écrit aussi : "Est-ce que Woodin se serait posé cette question s'il n'avait été platonicien ? Sans doute pas".

À l'époque des travaux de Woodin, Krivine travaillait sur Curry-Howard et en particulier : "écrire un programme qui corresponde à CH et comprendre ce qu’il fait"

Et je précise que Krivine reconnaissait "l'intérêt mathématique" et "la qualité esthétique" des travaux de Woodin et ne s'en prenait qu'à la démarche épistémologique. de celui-ci.

Martial · February 2022

Merci pour ces infos. Je me pose toutefois une question chronologique : à quand remonte le début des travaux de Krivine sur la correspondance de Curry-Howard ? Je sais qu'il a monté l'équipe PPS en 1994 (date approximative), mais cela devait faire un bout de temps qu'il travaillait là-dessus.. Comme ça à vue de nez je dirais milieu des années 70, mais peut-être me trompé-je.

Quant aux travaux de Woodin sur la $\Omega$-logique et la $\Omega$-conjecture, il me semble que c'est plutôt fin des années 90.

Par ailleurs (je n'y connais rien en Curry-Howard), qu'est-ce que ça peut bien vouloir dire "écrire un programme qui corresponde à CH" ?

Médiat_Suprème · February 2022

J'ai été étudiant de Krivine dans le milieu des années 70 et je n'ai pas souvenir qu'il travaillait sur Curry-Howard (dont l'essor date des années 70), mais il ne nous disait pas forcément tout

.

Je n'y connais pas grand-chose non plus, ce lien me paraît pas mal : menagea3.pdf (univ-amu.fr)

Foys · February 2022

@Martial ces travaux commencent après la découverte de Tim Griffin sur call_cc. (une instruction dans scheme qui possède le type $((A \to B ) \to A) \to A)$.

La correspondance de Curry-Howard consiste à voir les formules de math/logique comme des types dans un langage de programmation et les preuves d'un énoncé $F$ comme des programmes de type $F$.

Exemples simples.

-1°) La composition de fonctions est une preuve de syllogisme: $f\mapsto g \mapsto g \circ f$ est de type $(A\to B ) \to ((B\to C) \to (A \to C))$ (où $f$ est de type $A\to B$ i.e une fonction prenant un objet de type $A$ et renvoyant un objet de type $B$; et $g$ est de type $C$)

-2°) La copie d'un argument pour une fonction: étant donné une fonction $f$ de type $A \to (A \to B )$ et un objet $x$$A$, $f(x)(x)$ est de type $B$. Le programme qui applique deux exemplaires de $x$ à $f$, i.e.: $f\mapsto x \mapsto f (x)(x)$ est de type $(A \to (A\to B ))\to (A \to B )$.

-3°) Le programme qui étant donnés deux objets $u,v$, renvoie le premier objet:

$x\mapsto y\mapsto x$, qui est de type $A\to (B \to A)$.

-4°) Bien sûr, pour tous types $F,G$ et tout types $F,G$, si $p$ est de type $F\to G$ et $t$ est de type $F$ alors $p(t)$ est de type $G$.

Tout ceci montre que tous les théorèmes du système de Hilbert avec pour règle d'inférence le modus-ponens (cf 4°) et pour schémas d'axiomes les énoncés, pour tous $A,B,C$, de l'une des formes $A\to (B \to A)$, $(A \to (A\to B ))\to (A \to B )$, et $(A\to B ) \to ((B\to C) \to (A \to C))$, admettent des preuves qui sont des programmes informatiques dans un langage de programmation très simple. L'ensemble de ces théorèmes (qui contient tous les théorèmes de logique implicative intuitionniste).

À partir de là on peut enrichir la correspondance de Curry-Howard et rajouter d'autres connecteurs:

$A\wedge B$ est le produit cartésien de $A$ et de $B$ et une preuve de $A\wedge B$ n'est rien d'autre qu'un couple $(p,q)$ où $p$ est un objet de type $A$ i.e. une preuve de $A$, et $q$ un objet de type $B$ i.e. une preuve de $B$.

-Le couple (curryfication,décurryfication) est une preuve de l'équivalence entre $(A\wedge B ) \to C$ et $A\to B \to C$.

-$\forall x:A, B(x)$ est, comme type, le produit cartésien de la famille $(B(x))_{x\in A}$ et pour tout $t:A$, $(\forall x:A, B(x)) \to B(t)$ n'est autre que la projection de coordonnée $t:A$.

-Le langage de programmation COQ est largement basé sur la correspondance de Curry Howard. Pour chaque preuve de théorème, il est possible d'afficher le programme correspondant (souvent illisible) avec la commande "Print" par exemple.

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Cependant, tout ce qui précède est intuitionniste et pendant longtemps il a été impossible de démontrer des résultats équivalents au tiers exclu avec ce paradigme. C'est ce que Timothy Griffin et Jean-Louis Krivine ont accompli, en révisant l'idée de base cependant: on travaille dans un langage de programmation où les programmes sont exécutés sur une pile et où il y a un système de gestion d'exception et des sauvegardes et on réalise l'axiome de Peirce. Regarder la "réalisabilité classique" (visiter le site web de Krivine où tout est détaillé).

AlainLyon · February 2022

Selon moi-même : quand on pose les axiomes on invente (la règle du jeu) et quand on déduit les théorèmes des axiomes on découvre (le jeu) et "à vue de nez" comme la collection (ou l'ensemble) des propositions auxquelles donner une valeur vrai ou faux par déduction (les théorèmes donc) de la seule théorie des ensembles n'est pas dénombrable et que nous n'agissons que de façon finie j'en déduis qu'il y aura toujours quelque chose à découvrir MAIS...cela sera-t-il un travail fait par les hommes ou par un automate déterministe (de nos jour on dirait une IA)?

Médiat_Suprème · February 2022

AlainLyon a dit :
1) quand on pose les axiomes on invente (la règle du jeu) et quand on déduit les théorèmes des axiomes on découvre
2) la collection (ou l'ensemble) des propositions auxquelles donner une valeur vrai ou faux par déduction (les théorèmes donc) de la seule théorie des ensembles n'est pas dénombrable

1) Oui, cela a déjà été écrit dans ce fil.
2) Ceci est faux, l'ensemble des propositions dans le langage de la théorie des ensembles est dénombrable.

Martial · February 2022

@Médiat_Suprême. Ne perds pas ton temps, tu as sans doute d'autres choses à faire. Comme d'hab, AlainLyon essaye de nous enfumer.

Perso je me méfie des phrases qui commencent par "Selon moi-même". Je préfère des formulations du type : "Blablabli blablabla, mais cela n'engage que mon opinion".

Mais bon, ceci n'engage que mon opinion.

Bonne soirée à toi.

Jean--Louis · February 2022

Y-a-t-il des limites à l'imagination? Je ne sais pas, mais je ne parierais pas sur"oui, il y a des limites". C'est juste une impression , basée quand même sur les rêves, et surtout sur une journée entière que j'ai passée à avoir des hallucinations. Et les drogues comme le LSD augmentent-elles le pouvoir d'imagination?
Cordialement.
Jean-Louis.

zeitnot · February 2022

Jean--Louis a dit :

Y-a-t-il des limites à l'imagination?

J'ai du mal à l'imaginer !

jean lismonde · February 2022

Bonjour

Les scientistes, en particulier Pythagore et Auguste Comte déclarent que les mathématiques constituent l'essence de la réalité
("le monde est nombre") ce qui est faux, c'est comme si on proclamait que les mots dominent le monde !
et on a entendu cette phrase totalitaire de la part d'un mathématicien contemporain : "toute vérité est mathématique"
comme si les non-matheux ne pouvaient accéder à la vérité !

Il y a eu invention des mathématiques (par les Mésopotamiens il y a 4000 ans) comme il y a eu invention du langage écrit.
Les hommes ont inventé les chiffres pour répondre à des besoins tout à fait concrets : compter les bêtes d'un troupeau,
donner un âge aux êtres vivants, dater tel événement, recenser les hommes en âge d'être soldats, bâtir des maisons et des ponts,
estimer la longueur d'une voie routière et mesurer la surface des champs qui entrent dans l'assiette fiscale.

Il y eut ensuite et en particulier chez les Grecs une conceptualisation, c'est-à-dire une étude des mathématiques pour elles-mêmes :
propriétés géométriques des triangles, des cercles et autres coniques, propriétés arithmétiques des nombres, figures de l'espace.
C'est à ce moment-là que la mathématique est véritablement devenue une science et non un simple outil de travail.

Une création (ou invention) mathématique peut être parfaitement oiseuse et absconse voire monstrueuse,
elle ne deviendra découverte et ne sera admise définitivement
que si elle ressort avec des résultats concrets en mathématique appliquée ou dans une autre science.

Les nombres complexes restèrent suspects pendant 3 siècles (de Cardan à Gauss)
mais se révélèrent fort utiles en électricité et dans l'explication des cycles économiques et biologiques. Ils sont depuis parfaitement admis.
Le système binaire était un amusement jusqu'à ce que les électroniciens l'utilisent couramment.
Les vecteurs dont Leibniz eut l'intuition début XVIIIème siècle, n'ont été réellement intégrés aux mathématiques qu'un siècle plus tard
lorsque les physiciens les employèrent en dynamique.

La mathématique est aussi une science expérimentale et l'empirisme l'emporte forcément et doit l'emporter sur le dogmatisme.
Les mathématiques permettent de compléter l'explication réalisée avec le langage, de la réalité physique ou sociale
et aident les autres scientifiques à comprendre le monde dans lequel nous vivons, sans pour autant leur être indispensables.

Cordialement

Inventeurs ou découvreurs

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