Intégrale de Serret
Dans plusieurs publications anglo-saxonnes on voit attacher cette dénomination à l'intégrale suivante:\begin{align}I=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,dx\end{align}En fait cette dénomination est, en partie, usurpée.
Les auteurs anglo-saxons donnent bien la bonne référence sur l'article de Serret (1844) qui donne une méthode de calcul très simple pour calculer cette intégrale: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16388p/f442n1.capture
Mais que lit-on dans l'introduction de cet article?
"La valeur de cette intégrale, donnée par M. Bertrand dans le précédent volume de ce journal (...)".
Et en effet, on trouve trace de cet article de 1843:
http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1843_1_8_A7_0.pdf
Il y est exposé une méthode de calcul de cette intégrale (mais qui n'est pas simple).
PS:
J'ignore comment est venue à Bertrand (je pense que c'est "notre" Joseph Bertrand) l'idée de calculer cette intégrale.
Une question posée par un autre mathématicien? Aucune idée.
Les auteurs anglo-saxons donnent bien la bonne référence sur l'article de Serret (1844) qui donne une méthode de calcul très simple pour calculer cette intégrale: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16388p/f442n1.capture
Mais que lit-on dans l'introduction de cet article?
"La valeur de cette intégrale, donnée par M. Bertrand dans le précédent volume de ce journal (...)".
Et en effet, on trouve trace de cet article de 1843:
http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1843_1_8_A7_0.pdf
Il y est exposé une méthode de calcul de cette intégrale (mais qui n'est pas simple).
PS:
J'ignore comment est venue à Bertrand (je pense que c'est "notre" Joseph Bertrand) l'idée de calculer cette intégrale.
Une question posée par un autre mathématicien? Aucune idée.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
C'est intéressant. Effectivement : "Intégrale de Bertrand" car mise en lumière par un certain J. Bertrand (mais ce n'est cependant pas une intégrale de Bertrand...) ? "Intégrale de Bertrand-Serret" pour la méthode expéditive (je n'avais jamais vu ce calcul, merci !) ? "Intégrale de Serret", bon...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph_Bertrand
Il avait 21 ans en 1843.
L'article de Serret qui répondait au sien a sans doute du l'agacer. La solution de Serret est infiniment plus simple que celle de Bertrand MAIS, dans l'article de J. Bertrand on peut lire:
"Cette intégrale n'était pas connue, je crois. On pourrait l'obtenir de plusieurs manières; J'ai choisi la précédente parce qu'elle repose sur une méthode nouvelle d'intégration qui pourra être utile dans certains cas."
De là à penser qu'il n'ignorait pas qu'il y a une solution simple, il n'y a qu'un pas.
La structure de l'article commence par exposer la méthode qu'il veut employer. Puis, il l'applique à l'intégrale dite de Serret.
Il faudrait chercher quand on trouve trace de cette dénomination pour la première fois dans la littérature.
Je soupçonne qu'on trouve pour la première fois cette dénomination dans le livre de Paul J. Nahin, Irresistible integrals.
(mais cela reste à vérifier)
H. Laurent, Traité d'analyse, Tome III: Calcul intégral: intégrales définies et indéfinies (Paris: Gauthier-Villars, 1888)
P 144 ( https://projecteuclid.org/euclid.chmm/1437148065 )
$\frac{d}{dt}\int_0^tf(x,t)dx=\int_0^t\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)dx~+~f(t,t)$.
Soit donc l’intégrale de Serret : $I=\int_0^1\frac{ln(1+x)}{1+x^2}dx$
dont la convergence ne pose pas de problème.
On a intérêt au passage aux fonctions trigonométriques
On pose $x = tant$ soit $dx = (1 + tan^2t)dt$ et donc :
$I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(1+tant)dt = \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost+sint)dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost)dt$
soit $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}ln[\sqrt{2}cos(t-\frac{\pi}{4})]dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost)dt$
et donc $I=\frac{\pi}{2}ln2 + \int_0^{\frac{\pi}{4}}lncos(t-\frac{\pi}{4})dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost)dt$
et en posant $t=\frac{\pi}{4}-u$ doit $dt = – du$
on constate que la différence des deux dernières intégrales est nulle et donc :
$I=\int_0^1\frac{ln(1+x)}{1+x^2}dx = \frac{\pi}{8}ln2$
Cordialement.
&\overset{u=\frac{1-x}{1+x}}=\int_0^1 \frac{\ln\left(\frac{2}{1+u}\right)}{1+u^2}du\\
&=\ln 2\underbrace{\int_0^1 \frac{1}{1+u^2}du}_{=\frac{\pi}{4}}-J\\
J&=\boxed{\frac{\pi}{8}\ln 2}
\end{align}