Ici, c'est sans conséquence. Quand un lycéen fait faire ses exercices par un forum, quand il '''trompe''' son prof en lui rendant des exercices qu'il a juste recopiés, quand il trompe le système du contrôle continu, on peut considérer qu'il y a des conséquences. Le lycéen fait faire, alors qu'il pourrait apprendre et qu'il devrait apprendre. OShine fait faire alors qu'il ne pourrait pas apprendre et qu'il ne devrait pas apprendre.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
@Os Tu n'as pas résolu la question 37. C'est dommage que tu ne veuilles pas te prendre la tête car le sujet à
l'air d'être intéressant. A priori il ne demande pas beaucoup de
connaissances mais il demande à réfléchir un peu.
Penses-tu que c'est bien de faire 38.a,39....avant de faire 37? Comme tout me semble lié , il y a un fort risque de t'embourber.
Voici un exemple simple pour te faire réfléchir sur la question 37 que tu n'as pas résolue: $v_1=(2/3, 1/5)$ $v_2=(3/2,1/7)$
Soit $x=k_1 v_1 + k_2 v_2$ donc $\pi (x) =k_1\times 1/5 + k_2 1/7. $ On a démontré que $r=pgcd /D =pgcd(5,7)/(5 \times 7)=1/35.$
Donc d'après toi $w=(0,r)=(0,1/35).$ Vérifions que $w$ est dans $\cal{R}.$ Résolvons l'équation
$w=h_1 v_1 + h_2 v_2 =(0,r)$ On a ici un système de Cramer à résoudre et on trouve une seule solution $(h_1,h_2)=(\frac{9}{43},-\frac{4}{43})$
Tu penses que $h_1$ et $h_2$ sont des entiers? Que $w$ est dans $\cal{R}\ ?$
Je pense que la faute originelle, c'est que OShine a recopié un morceau de l'énoncé de l'exercice. Il a recopié les questions, mais il n'a pas recopié les définitions.
Dans cette partie on suppose que bla bla bla : C'est la continuation d'un énoncé. Un peu avant, on a défini des choses. $\Q$ par exemple, je n'ai aucune certitude que $\Q$ désigne l'ensemble des rationnels. J'ai l'impression qu'on est dans des concepts plus généraux. $\Q$ est un corps, qui peut être par exemple le corps des rationnels, mais pas forcément. Si $\Q = \mathbb{Q}^2$ par exemple, l'exercice reste valable.
Tant que OShine lira les questions au lieu de lire les définitions, il se plantera. Et quand il lira les définitions, il se plantera aussi, mais c'est un autre débat.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Lourrran c'est bien l'ensemble des rationnels. Cette partie est indépendante du problème l'énoncé le précise.
Bd2017 déjà je ne comprends pas d'où sort le PGCD je n'ai jamais introduit de PGCD pour la question 36. Peut être que tu as réussi à trouver une expression explicité de $r$ dans $Q36$ mais pas moi.
Pour ce qui est de la méthode que je suggérais, mon idée était d'utiliser d'une part le fait que $\mathcal{R}$ est un sous-groupe discret pour dire que $0$ est isolé et que par conséquent, si $\mathcal{R}$ n'est pas réduit à $\{0\}$, alors $\mathcal{R} \cap \R^+_*$ possède un minimum... mais je ne vois pas trop comment le justifier sans utiliser le PPCM donc finalement la méthode constructive est sans doute meilleure et plus simple à comprendre.
Simplement, c'est l'autre idée qui m'était venue en premier.
@Os on peut montrer que $r$ existe sans donner sa valeur explicite. On peut montrer qu'il est unique au signe près. Mais donner la valeur explicite pourra peut être servir dans les questions à suivre.
Maintenant ce n'est pas parce que tu ne connais pas la valeur $r$ que tu peux te permettre de passer au dessus de ma remarque.
Le $w$ que tu as donné n'est pas dans $\cal{R} .$ Tu n'as pas démontré que $w\in \cal{R}.$
C'est à dire que tu ne maitrise pas ton sujet et faire la question 38. à partir de "on sait que $w=(0..,r)$ " cela me choque.
P.S. La méthode proposée de @bisam c'est montrer qu'une suite $\sum_i k_{i,n} v_i= (k_n.v)>0 $ ne peut tendre vers 0. C'est facile à démontrer mais quand on écrit la démonstration on voit toute de suite qu'elle admet un minimum $r$ mais on voit aussi sa valeur.
P.S. Par ailleurs as-tu démontré l'existence de $r\ ?$
@bd2017 Raoul.S a donné la solution pour la question $36$. Je vois qu'on multiplie par le $PPCM$ des dénominateurs pour se ramener dans $(\Z,+)$ mais je ne vois pas de $PGCD$. J'ai sûrement faux à la $37$ oui si je vois tes calculs.
Voici une nouvelle tentative, aucune idée si c'est juste.
Soit $x \in R$. Alors $x= k_1 v_1 + \cdots +k_m v_m$. Notons $v_1 = (v_{11}, \cdots, v_{n1})^T \in \Q^n$. On a alors $\pi(x)= k_1 v_{n1} + k_2 v_{n2} + \cdots +k_m v_{n m}$ On peut poser $\forall i \in [|1,m |] \ \ v_{ni}= \dfrac{p_i}{q_i}$ Et en multipliant par $D=PPCM(q_1, \cdots, q_m)$ on trouve $\boxed{ D \pi(x)= \displaystyle\sum_{i=1}^m k_i D v_{ni} }$ Ainsi, $D \pi(x)= \Z v_{n1} + \cdots + \Z v_{nm}$ D'après la question précédente, il existe $r \in \Q$ tel que $D \pi(x)= r \Z$ On cherche $w \in R$ tel que : $\boxed{\pi(R)= \dfrac{r}{D} \Z = \pi(w) \Z}$ Il suffit de prendre $\pi(w)=\dfrac{r}{D}$ Soit $w \in R$ tel que $w=(w_1, \cdots, w_n)^T$ alors il suffit de prendre $w_n = \dfrac{r}{D}$ Donc $\boxed{w=(w_1, \cdots, w_{n-1}, r/D)}$.
De plus, si il y a un PGCD dans ma formule c'est parce que j'avais repris ton travail. Tu avais multiplié par le produit des $q_i$ et non le p.p.c.m. De toute façon cela revient au même et tu devrais le voir. PPCM ET PGCD ça se voit au lycée !
Comment peut tu oser écrire $\pi(w)=r/D$ alors que $\pi(w)=r\ ? $ Ce n'est pas la peine de demander si c'est juste. Une écriture symbolique aléatoire à peu de chance en un temps assez court de constituer une vraie démonstration.
Bon, on va dire que @raoul a démontré l'existence de $r.$ Laissons tomber sa valeur. Il faut faire 37., ( car 38. est faux puisque 37. est faux).
Il faut donc montrer qu'il existe tel $w\in \cal{R}$ tel que $\pi(w)= r.$ $w=(0,0,0...,r)$ est dans $Q^n$ mais n'a aucune raison d'être $\cal{R}.$ Continuer le problème sans comprendre ma remarque c'est marcher dans un champ de mines les yeux bandés.
Tu maîtrises bien le français, et tu dis que tu ne comprends pas la question. Tu ne dis pas que tu ne sais pas y répondre. Le choix des mots n'est sûrement pas fait au hasard.
Devant un exercice, devant une question, 3 options : - On sait faire la question, tout va bien - On comprend la question, mais on ne sait pas y répondre : ça arrive. - On ne comprend pas la question, et on y répond quand même : ça, c'est une belle preuve de stupidité.
Si tu ne comprends pas la question, tu demandes de l'aide pour comprendre la question, tu demandes de répéter la question. Et quand tu auras compris la question, tu pourras essayer d'y répondre.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Je ne comprends pas pourquoi répéter une question permettrait de comprendre mieux.
Je ne comprends pas pourquoi répéter une question permettrait de comprendre mieux.
Voila, j'ai répété ma question. Et je ne comprends toujours pas ce que vous espérez d'OShine. Mais ce n'est pas grave, l'expérience continue répétitivement.
Il croit qu'il a quelques problème d'audition, donc il demande dans un premier temps de répéter la question. En fait, il a surtout des problèmes de compréhension, donc il devrait demander de reformuler la question.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Question $36$ : Montrons qu'il existe $r \in \Z$ tel que $\mathcal R= r \Z$ Soit $q \in \Z$ tel que $q v_i \in \Z$ pour tout $i \in [|1,n|]$. Alors $q \mathcal R \subset \Z$ et $q \mathcal R$ est un sous-groupe de $\Z$. Ainsi, il existe $p \in \N$ tel que $q \mathcal R=p \Z$ Il suffit de poser $\boxed{r=\dfrac{p}{q}}$
Question $37$ : Montrons qu'il existe $w \in \Q^n$ tel que $\pi(R)=\pi(w) \Z$ $\mathcal R$ est un sous-groupe de $\Q^n$ donc $\pi(\mathcal R)$ est un sous-groupe de $\Q$. $\pi$ est un morphisme de groupe pour l'addition donc $\pi(\mathcal R)= \{ \displaystyle\sum_{i=1}^m k_i \pi_(v_i) \ | \ k_i \in \Z \}$ Il existe un $q \in \Z$ tel que $q \pi( \mathcal R) \subset \Z$ avec $q \pi(\mathcal R)$ sous-groupe de $\Z$. Il existe $r \in \Q$ tel que $\pi(\mathcal R)= r \Z$. Par conséquent, $r=r \times 1 \in \pi(\mathcal R)$ donc il existe $w \in \mathcal R$ tel que $\boxed{r= \pi(w)}$.
Question $38a$ : Soit $x \in \mathcal R$. Montrons que $x=qw+\tilde{x}$ avec $q \in \Z$ et $\tilde{x} \in \mathcal R \times ( Q^{n-1} \times \{0 \} )$ On a $\pi(x) \in \pi(\mathcal R)= \pi(w) \Z$. Ainsi, il existe $q \in \Z$ tel que $\pi(x)= \pi(w)q$ Posons $\tilde{x}=x- qw \in \mathcal R$ car $\mathcal R$ est un groupe, alors par morphisme de $\pi$ : $\pi( \tilde{x})=0$ Ainsi, $\tilde{x} \in R \cap (Q^{n-1} \times \{0 \})$ Ce qui montre que $\boxed{\exists (q,\tilde{x}) \in \Z \times \mathcal R \times ( Q^{n-1} \times \{0 \} ) \ \ x=qw+\tilde{x}}$ Question $38b$ : Montrons que $\tilde{x}$ est unique. Si on a $q' w+ \tilde{x} = q' w+ \tilde{x'}$ alors comme $\pi$ est un morphisme, on a $q' \pi(w)= q \pi(w)$ Si $\pi(w) \ne 0$ alors $q=q'$ puis $\tilde{x} = \tilde{x'}$ et $\tilde{x}$ est unique. Si $\pi(w)=0$ on a $q$ n'est pas unique. La suite c'est juste une application de la question $38$.
AHAHAHA T'es fort Oshine quand même t'arrives même à faire travailler Phil Caldero ! Quand je disais que Phil Caldero son problème ce n'était de pas prendre en compte ton avancement tu as vraiment pris ça au pied de la lettre
Ras le bol ! @Os est-il possible d'avoir le sujet entier ? Corrigé des autres et rapports de Jury, je n'en ai rien à faire et je pense ne pas être le seul.
@Noobey Phil Caldéro est très sympathique en fait et il explique bien, il a même fait une vidéo pour m'expliquer la partie VIII. Je trouve que cette partie est d'un niveau très élevé. Elle m'avait l'air simple au départ, mais en fait c'était bien plus dur que ce que je croyais.
@OShine Quand tu as posté les 2 messages avec 'tes' réponses cette nuit, tu n'as pas précisé que tu avais obtenu la correction ailleurs. C'était un oubli ? C'était volontaire et tu croyais que tu pouvais tromper ton public ?
Tout le monde sait que pour toi, le verbe chercher veut dire : chercher quelqu'un qui va chercher à ta place.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Je suppose qu'il n'a pas trop connaissance du lien Oshine <-> Nic Chagall ni de ses 3000 topics sur ce forum. Faut avouer qu'il est fort ! Après tout, ceux qui se taisent et ne demandent rien ont peut-être toujours tort...
@Bd2017 Phil Caldéro ne donne pas la valeur explicité de $r$. Je suppose donc qu'elle ne sert pas, vu son niveau. Il a été jury a l'agreg externe et a écrit des livres d'algèbre de niveau licence 3 et master 2.
@Os tu as raison. N'ayant pas le sujet, donner l'existence de $r$ suffit peut être et chercher à donner sa valeur ce n'est surement pas intelligent, surtout que je ne suis pas membre d'un jury de l'agrégation externe.
Comme par ailleurs, je n'aurai pas dû soulever le lièvre que de dire $w=(0,....,r)\in \cal{R}$ est faux et . Tu aurais pu continuer ton sujet en ayant l'impression d'avoir compris ce qu'est l'ensemble $\cal{R}$ tout en n'ayant pas compris.
@OShine les vidéos sont peut-être mieux pour toi finalement, j'espère en tout cas que tu pourras comprendre plus facilement. Essaie quand même de ne pas trop faire avec Phil Caldero ce que tu fais sur le forum (genre "je suis bloqué") car autrement il va vite déchanter.
PS. pour ton histoire de $r$ ci-dessus, tu n'as jamais vu que $a\Z + b\Z=pgcd(a,b)\Z$ ?
Les vidéos de niveau élevé de Phil Caldéro je ne commente pas. Ici le problème m'intéressait et semblait à mon niveau de connaissances. Quand il parle d'agreg externe je ne pose pas de questions.
Je peux essayer de le montrer, c'était peut-être dans le cours de MPSI mais j'ai dû oublier.
Soit $x \in a \Z+ b \Z$. Alors il existe $(u,v) \in \Z$ tel que $x=au+bv$. D'après le cours, il existe $a'$ et $b'$ premiers entre eux tels que $a= PGCD(a,b) a'$ et $b=PGCD(a,b) b'$
Donc $x=(aa' +bb') PGCD(a,b) \in PGCD(a,b) \Z$
Réciproquement, soit $x \in PGCD(a,b) \Z$. Donc $x=PGCD(a,b) q$ D'après le théorème de Bezout, il existe $(u,v) \in \Z^2$ tel que $PGCD(a,b)=au+bv$
Donc $x= auq+bvq \in a \Z+b\Z$
On a donc $r=\dfrac{PGCD(q v_1, \cdots, q v_m)}{q}$
C'est incroyable !! OShine qui réussit à faire faire des heures supplémentaires à Mr. Caldero et qui se permet d'émettre des jugements sur la qualité des explications d'untel ou d'un autre, qui distribue des bons points de pédagogie....
Pour finir la valeur de $r$ est donnée par le théorème de Bezout. C'est évident de le voir quand qu'on a multiplié le tout par le produit des $q_i$ ou alors par le ppcm des $q_i$
Réponses
J'ai cherché la $38.a$ mais je ne suis pas sûr de ma réponse.
On sait que $w=(0, \cdots, 0,r)$. Posons $x=(x_1, \cdots, x_{m-1},x_m) \in R$.
Si $x=qw+\tilde{x}$ alors il existe $k \in \Z$ tel que $\pi(x)=\pi(w) k =q \pi(w)=qr$
Par analyse synthèse, je trouve $\boxed{q=\dfrac{ \pi(w) k}{r} }$ et $\boxed{\tilde{x}=(x_1, \cdots, x_{m-1},qr)}$
Pour la question $b$ et l'unicité je ne trouve pas comment faire.
Quand un lycéen fait faire ses exercices par un forum, quand il '''trompe''' son prof en lui rendant des exercices qu'il a juste recopiés, quand il trompe le système du contrôle continu, on peut considérer qu'il y a des conséquences.
Le lycéen fait faire, alors qu'il pourrait apprendre et qu'il devrait apprendre.
OShine fait faire alors qu'il ne pourrait pas apprendre et qu'il ne devrait pas apprendre.
Dans cette partie on suppose que bla bla bla : C'est la continuation d'un énoncé. Un peu avant, on a défini des choses.
$\Q$ par exemple, je n'ai aucune certitude que $\Q$ désigne l'ensemble des rationnels. J'ai l'impression qu'on est dans des concepts plus généraux.
$\Q$ est un corps, qui peut être par exemple le corps des rationnels, mais pas forcément. Si $\Q = \mathbb{Q}^2$ par exemple, l'exercice reste valable.
Tant que OShine lira les questions au lieu de lire les définitions, il se plantera.
Et quand il lira les définitions, il se plantera aussi, mais c'est un autre débat.
Cette partie est indépendante du problème l'énoncé le précise.
Bd2017 déjà je ne comprends pas d'où sort le PGCD je n'ai jamais introduit de PGCD pour la question 36.
Peut être que tu as réussi à trouver une expression explicité de $r$ dans $Q36$ mais pas moi.
Simplement, c'est l'autre idée qui m'était venue en premier.
Ok merci.
@bd2017
Raoul.S a donné la solution pour la question $36$.
Je vois qu'on multiplie par le $PPCM$ des dénominateurs pour se ramener dans $(\Z,+)$ mais je ne vois pas de $PGCD$.
J'ai sûrement faux à la $37$ oui si je vois tes calculs.
Notons $v_1 = (v_{11}, \cdots, v_{n1})^T \in \Q^n$.
On a alors $\pi(x)= k_1 v_{n1} + k_2 v_{n2} + \cdots +k_m v_{n m}$
On peut poser $\forall i \in [|1,m |] \ \ v_{ni}= \dfrac{p_i}{q_i}$
Et en multipliant par $D=PPCM(q_1, \cdots, q_m)$ on trouve $\boxed{ D \pi(x)= \displaystyle\sum_{i=1}^m k_i D v_{ni} }$
Ainsi, $D \pi(x)= \Z v_{n1} + \cdots + \Z v_{nm}$
D'après la question précédente, il existe $r \in \Q$ tel que $D \pi(x)= r \Z$
On cherche $w \in R$ tel que : $\boxed{\pi(R)= \dfrac{r}{D} \Z = \pi(w) \Z}$
Il suffit de prendre $\pi(w)=\dfrac{r}{D}$
Soit $w \in R$ tel que $w=(w_1, \cdots, w_n)^T$ alors il suffit de prendre $w_n = \dfrac{r}{D}$
Donc $\boxed{w=(w_1, \cdots, w_{n-1}, r/D)}$.
Tu maîtrises bien le français, et tu dis que tu ne comprends pas la question. Tu ne dis pas que tu ne sais pas y répondre. Le choix des mots n'est sûrement pas fait au hasard.
Devant un exercice, devant une question, 3 options :
- On sait faire la question, tout va bien
- On comprend la question, mais on ne sait pas y répondre : ça arrive.
- On ne comprend pas la question, et on y répond quand même : ça, c'est une belle preuve de stupidité.
Si tu ne comprends pas la question, tu demandes de l'aide pour comprendre la question, tu demandes de répéter la question. Et quand tu auras compris la question, tu pourras essayer d'y répondre.
Je ne comprends pas pourquoi répéter une question permettrait de comprendre mieux.
Voila, j'ai répété ma question. Et je ne comprends toujours pas ce que vous espérez d'OShine.
Mais ce n'est pas grave, l'expérience continue répétitivement.
En fait, il a surtout des problèmes de compréhension, donc il devrait demander de reformuler la question.
En fait je comprends la question mais je ne sais pas la traiter.
Question $36$ :
Montrons qu'il existe $r \in \Z$ tel que $\mathcal R= r \Z$
Soit $q \in \Z$ tel que $q v_i \in \Z$ pour tout $i \in [|1,n|]$. Alors $q \mathcal R \subset \Z$ et $q \mathcal R$ est un sous-groupe de $\Z$.
Ainsi, il existe $p \in \N$ tel que $q \mathcal R=p \Z$
Il suffit de poser $\boxed{r=\dfrac{p}{q}}$
Question $37$ :
Montrons qu'il existe $w \in \Q^n$ tel que $\pi(R)=\pi(w) \Z$
$\mathcal R$ est un sous-groupe de $\Q^n$ donc $\pi(\mathcal R)$ est un sous-groupe de $\Q$.
$\pi$ est un morphisme de groupe pour l'addition donc $\pi(\mathcal R)= \{ \displaystyle\sum_{i=1}^m k_i \pi_(v_i) \ | \ k_i \in \Z \}$
Il existe un $q \in \Z$ tel que $q \pi( \mathcal R) \subset \Z$ avec $q \pi(\mathcal R)$ sous-groupe de $\Z$.
Il existe $r \in \Q$ tel que $\pi(\mathcal R)= r \Z$.
Par conséquent, $r=r \times 1 \in \pi(\mathcal R)$ donc il existe $w \in \mathcal R$ tel que $\boxed{r= \pi(w)}$.
Soit $x \in \mathcal R$. Montrons que $x=qw+\tilde{x}$ avec $q \in \Z$ et $\tilde{x} \in \mathcal R \times ( Q^{n-1} \times \{0 \} )$
On a $\pi(x) \in \pi(\mathcal R)= \pi(w) \Z$. Ainsi, il existe $q \in \Z$ tel que $\pi(x)= \pi(w)q$
Posons $\tilde{x}=x- qw \in \mathcal R$ car $\mathcal R$ est un groupe, alors par morphisme de $\pi$ : $\pi( \tilde{x})=0$
Ainsi, $\tilde{x} \in R \cap (Q^{n-1} \times \{0 \})$
Ce qui montre que $\boxed{\exists (q,\tilde{x}) \in \Z \times \mathcal R \times ( Q^{n-1} \times \{0 \} ) \ \ x=qw+\tilde{x}}$
Question $38b$ :
Montrons que $\tilde{x}$ est unique.
Si on a $q' w+ \tilde{x} = q' w+ \tilde{x'}$ alors comme $\pi$ est un morphisme, on a $q' \pi(w)= q \pi(w)$
Si $\pi(w) \ne 0$ alors $q=q'$ puis $\tilde{x} = \tilde{x'}$ et $\tilde{x}$ est unique.
Si $\pi(w)=0$ on a $q$ n'est pas unique.
La suite c'est juste une application de la question $38$.
Quand je disais que Phil Caldero son problème ce n'était de pas prendre en compte ton avancement tu as vraiment pris ça au pied de la lettre
Voir les commentaires :
Phil Caldéro est très sympathique en fait et il explique bien, il a même fait une vidéo pour m'expliquer la partie VIII.
Je trouve que cette partie est d'un niveau très élevé.
Elle m'avait l'air simple au départ, mais en fait c'était bien plus dur que ce que je croyais.
Ce n'est pas en lisant des corrigés qu'on progresse mais j'ai appris des choses sur les sous-groupes de $(\Z, +) $.
Quand tu as posté les 2 messages avec 'tes' réponses cette nuit, tu n'as pas précisé que tu avais obtenu la correction ailleurs.
C'était un oubli ?
C'était volontaire et tu croyais que tu pouvais tromper ton public ?
Tout le monde sait que pour toi, le verbe chercher veut dire : chercher quelqu'un qui va chercher à ta place.
Je suppose qu'il n'a pas trop connaissance du lien Oshine <-> Nic Chagall ni de ses 3000 topics sur ce forum. Faut avouer qu'il est fort !
Après tout, ceux qui se taisent et ne demandent rien ont peut-être toujours tort...
Il a été jury a l'agreg externe et a écrit des livres d'algèbre de niveau licence 3 et master 2.
@bd2017
Je ne vois pas comment trouver $r$.
$\mathcal R= \{ \displaystyle\sum_{i=1}^m k_i v_i \ | \ k_1, \cdots, k_m \in \Z \}$
Posons $v_i = p_i /q_i$ et notons $q=PPCM(q_i)$ alors : $\boxed{q \mathcal R= \Z qv_1 + \cdots + \Z qv_m}$ est c'est un sous-groupe de $\Z$.
PS. pour ton histoire de $r$ ci-dessus, tu n'as jamais vu que $a\Z + b\Z=pgcd(a,b)\Z$ ?
Quand il parle d'agreg externe je ne pose pas de questions.
Je peux essayer de le montrer, c'était peut-être dans le cours de MPSI mais j'ai dû oublier.
Soit $x \in a \Z+ b \Z$. Alors il existe $(u,v) \in \Z$ tel que $x=au+bv$.
D'après le cours, il existe $a'$ et $b'$ premiers entre eux tels que $a= PGCD(a,b) a'$ et $b=PGCD(a,b) b'$
Donc $x=(aa' +bb') PGCD(a,b) \in PGCD(a,b) \Z$
Réciproquement, soit $x \in PGCD(a,b) \Z$. Donc $x=PGCD(a,b) q$ D'après le théorème de Bezout, il existe $(u,v) \in \Z^2$ tel que $PGCD(a,b)=au+bv$
Donc $x= auq+bvq \in a \Z+b\Z$
On a donc $r=\dfrac{PGCD(q v_1, \cdots, q v_m)}{q}$
Finalement $\boxed{r=\dfrac{ |q|}{q} PGCD(v_1, \cdots, v_m)}$
Donc $2$ valeurs possibles pour $r$, $+ PGCD(v_1, \cdots, v_m)$ ou $- PGCD(v_1, \cdots, v_m)$ il n'y a pas unicité.
PS. il faut prendre des initiatives... 🙄
Edit : je répondais à ton message avant modifs.