Catalan et une Ramanujan
Bonjour
Je me suis confronté dans un fil à deux questions que je ne sais pas résoudre pour le moment
1- Montrer que $\ \displaystyle \lim_{n\to +\infty}\sum_{j=1}^n \sum_{i=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{i^2+j^2}=G$
2- Montrer cette Ramanujan $\ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(e^{2\pi n}-1)} = \log 2 + \frac{3}{4} \log \pi - \frac{\pi}{12} -\log \Gamma \left(\frac{1}{4} \right).$
Le 😄 Farceur
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Réponses
Pour les tout aussi paresseux lecteurs: https://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Catalan
Cordialement,
Rescassol
j'ai écrit $\displaystyle\int_{n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+j^2}dt\le\displaystyle\sum_{i=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{i^2+j^2}\le \displaystyle\int_n^{+\infty}\dfrac{1}{t^2+j^2}dt$ d'où $\displaystyle\sum_{j=1}^{n} \dfrac{1}j\arctan(j/(n+1))\le s_n \le\displaystyle\sum_{j=1}^{n} \dfrac{1}j\arctan(j/n)$
en utilisant $\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2$ quand $x>0$.
Puis on passe à la limite dans les sommes de Riemann.
1.pour tout $p, \int_p^{p+1} f(x,j) dx = f(p,j)+\frac{1}{2} f_x^{(1)}(p,j) + O(\frac{1}{n^4}) $
Cela s'obtient par Taylor au point $p$ et il faut comprendre que $O(\frac{1}{n^4})$ signifie que ce terme en valeur absolue est majoré par $\frac{C}{p^4}$
la constante C ne dépend pas de $j\geq 1$.
De même on obtient $\int_p^{p+1} f_x^{(1)}(p,j) dx = f_x^{(1)}(p,j) + O(\frac{1}{n^4}) $
Donc par élimination $f(p,j)=\int_p^{p+1} f(x,j) dx -1/2 \int_p^{p+1} f_x^{(1)}(p,j) dx +O(\frac{1}{n^4})$
En sommant de n à l'infini on a alors $$ \sum_{p=n}^\infty f(p,j)= \int_p^{\infty } f(x,j) dx +1/2 f(n,j) + O(1/n^3)$$2. On somme de j=1 à n-1 pour avoir:
$ s_{n-1} = 1/n \sum_{j=1}^{n-1} \frac{\arctan(j/n)}{j/n} + \frac{1}{2} \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^{n-1} f(1,j/n) + O(1/n^2) $
Il faut ajouter le terme $j=n$ pour faire appraitre les sommes de Riemann des fonctions $\frac{\arctan(y)}{y}, f(1,y), f_x^{(1)} (1,y),... $
Pour chaque somme de Riemann il faut faire le développement asymptotique ....
$s_{n-1}= [(G - 1/n) -\dfrac{1}{2 n} \frac{1}{4} (\pi -4)] + [\frac{1}{2} \frac{1}{n} ( \int_0^1 f(1, y ) dy - f(1,1)/n )] + O(1/n^2) $
La somme à calculer peut s'écrire $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^nu_n^2$ où $u_n=\ln2-\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k-1}}k=\int_0^1\dfrac{t^{2n}}{1+t}dt$.
On en déduit $S=\displaystyle\iint_{0\le t,u\le1}\dfrac{-t^2u^2}{(1+t)(1+u)(1+t^2u^2)}dt\;du$ , intégrale qui n'est pas immédiate à calculer.
sumalt(n=1,(-1)^n*u(n)^2)
-0.5420161222806063911636047550131098239
$S=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\left(\log2-\sum_{k=\lfloor n/2\rfloor+1}^n\frac1k\right)^2$ (avec la convention $\displaystyle\sum_{k=1}^0u_k=0$).