Questions par rapport à la démonstration du théorème de Cochran (version simplifiée)

Bonjour
Je regardais par curiosité la démonstration du théorème de Cochran sur Wikipédia, il y a deux éléments que je ne comprends pas dans le screen ci-joint.
1) Pourquoi $AA^t = \begin{pmatrix}
P_F & 0\\
0 & P_{F^{\perp}} 
\end{pmatrix}$ et non pas $AA^t = \begin{pmatrix}
P_F^2 & 0\\
0 & P_{F^{\perp}}^2 
\end{pmatrix}$ ?
2) En quoi le fait que la matrice soit diagonale par bloc implique le fait que les vecteurs aléatoires soient indépendant et de loi centrée de matrice de covariance $P_F$ (resp. $P_{F^{\perp}}$) ?

J'ai beaucoup de mal avec les vecteurs gaussiens.
En vous remerciant de l'attention que vous porterez à ce post.