Équation de Riccati ?

ccapucine

January 2022 Modifié (January 2022) dans Analyse

Bonjour,

je cherche à résoudre le problème de Cauchy suivant.

$$ y'=y^2-x^2, \qquad y(0)=1.$$

En cherchant, il me semble que cette équation est de Riccati mais je n'arrive pas à appliquer la méthode.

Merci d'avance pour votre aide.

Réponses

• 

  Barjovrille

  January 2022 Modifié (January 2022)

  Bonjour,
  c'est bien une équation de Riccati, tu injectes $y= -\frac{z'}{z}$ dans l'équation, alors $z$ vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre 2.
• 

  LOU16

  January 2022 Modifié (January 2022)

  Bonsoir,
  

   La potion habituellement prescrite dans ces cas là est en effet le changement d'inconnue  $y= \dfrac {-z'}z$, qui conduit à chercher $z$  telle que: $\: z''(x) =x^2z(x), \:\: z(0) =-z'(0)=1.$

  En fouinant du côté des solutions développables en série entière, on dégotte la fonction $z_0$ définie sur $\R$ par:
  

  $  z_0(x)= \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty} (u_nx^{4n} -v_n x^{4n+1})\: $ où $\displaystyle \:\: u_n=  \dfrac 1{4^n\:n!}\prod _{k=1}^n \dfrac 1{4k-1}, \quad v_n =\dfrac 1{4^n\:n!}\prod _{k=1}^n \dfrac 1{4k+1}.$

  $z_0(x) =1 -x +\dfrac {x^4}{12} - \dfrac {x^5}{20}+ \dfrac {x^8}{672}-\dfrac {x^9}{1440} + \dots$
  

  $z_0$ est $\mathcal C^{\infty}$ sur $\R$, réalise une bijection strictement décroissante de $\R$ sur $\R$, et s'annule en un point $a \in]1;2[.$

  (la justification de cette affirmation n'est pas immédiate et demande un peu de travail.)
  

  Ainsi, la solution maximale de l'équation $y'(x) =y(x)^2-x^2, \:\: y(0) =1$ est la fonction $y_0: \: x\mapsto \dfrac {-z'_0(x)}{z_0(x)}$, définie sur $]-\infty;a[.$

  On peut obtenir quelques informations sur les variations de cette fonction $y_0$:
  

  $\exists b<0 \:\text { tel que } y_0 \text {  est décroissante sur } ]-\infty;b], \:\text{croissante sur } [b;a[, \:\:  y_0(b)>0, \qquad \displaystyle \lim_{-\infty}y _0=+\infty,\:\: \lim_{a^-}y_0 =+\infty.$
  

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