Domination asymptotique : ordres & topologies

Bonjour à tous, $\def\preceq{\preccurlyeq}$ $\def\succeq{\succcurlyeq}$ $\def\lleq{\mathrel{\leq\!\!\!\!\;\leq}}$ $\def\lleqsub{{\leq\!\!\leq}}$ $\def\leqinfty{\underset{+\infty}\leqslant}$ $\def\sp{\ \ }$ $\def\quo{/{\small\approx}}$
Une innocente remarque de Poirot m'a mis en tête une drôle de lubie : étudier l'ordre de domination asymptotique sur les fonctions.

Soit ${E}_0 = ( \Bbb R_+^*)^{\Bbb N}$ ou $(\Bbb R_+^*)^{\Bbb R_+}$ ou ${\cal C}(\Bbb R_+,\Bbb R_+^*)$ ou ${\cal C}_{\rm pm}(\Bbb R_+,\Bbb R_+^*)$ (fonctions continues par morceaux, continues à droite ou à gauche en chaque point) ... ou quelque chose du genre. Je note $f\preceq g $ lorsque $ f\underset{+\infty}= O(g)$, $f\approx g$ lorsque $f\preceq g $ et $g \preceq f$, et $f\ll g$ lorsque $f\underset{+\infty}=o(g)$. Alors $\approx$ est une relation d'équivalence et $\preceq $ et $\ll$ passent au quotient en des relations d'ordre sur ${E} :={E}_0/\!\approx$. Les deux couples (relation large, relation stricte) sont $(\preceq ,\prec)$ et $(\lleq,\ll)$. Enfin, je munis $E$ des topologies de l'ordre ${\cal T}_\lleqsub$ et ${\cal T}_\preceq $ dont les intervalles ouverts forment une prébase parce que j'aime bien la topologie. :-)

Que peut-on dire ? Si je n'ai pas commis d'erreur, en vrac :

1. $\forall f:\Bbb R_+ \to \Bbb R^*, f\approx |f|$ donc il n'est pas restrictif de se limiter aux fonctions positives.
2. $\preceq $ et $\lleq$ sont des ordres denses : $\forall f \prec g, \exists h, f \prec h\prec g$ et $\forall f \ll g, \exists h, f \ll h\ll g$.
3. $(E,\preceq )$ est un treillis, mais pas $(E,\lleq)$, et on a $\inf_{\preceq } ([f],[g]) = [\min(f,g)]$ où $[f]$ est la classe de $f$ dans $E$. En revanche, $\ll$ vérifie $\{h \mid h\ll f\ \text{et}\ h\ll g\}=\{h \mid h\ll \min(f,g)\}$ mais pas $\prec$.
4. $(E,{\cal T}_\preceq)$ est discret.
5. $(E,\times,{\cal T}_\lleqsub)$ est un groupe topologique abélien séparé non discret. Les intervalles ouverts en sont une base.
6. Certains sous-ensembles minorés de $E$ n'ont de borne inférieure ni pour $\preceq$, ni pour $\lleq$ (ex : $\{ x\mapsto x^\alpha \mid \alpha >0\}$).
7. Si $g \prec \cdots \preceq f_2 \preceq f_1 \preceq f_0$, alors il existe $h\in E$ telle que $g \prec h \prec \cdots \preceq f_2 \preceq f_1 \preceq f_0$. Et même résultat dans $(E,\lleq)$.
8. Aucune suite dans $(E,{\cal T}_\lleqsub)$ n'a de valeur d'adhérence, à moins de prendre une infinité de fois la même valeur. En particulier, seules les suites stationnaires convergent.
9. Aucun sous-ensemble infini de $(E,{\cal T}_\lleqsub)$ n'est compact. Et aucun sous-ensemble indénombrable de $(E,{\cal T}_\lleqsub)$ n'est séparable.
10. Tout sous-ensemble dénombrable de $(E,\preceq)$ ou $(E,\lleq)$ est majoré et les cofinalités de $(E,\preceq)$ et $(E,\lleq)$ sont égales. Si les fonctions de $E_0$ sont localement bornées alors ${\rm cf}(E) = {\rm cf}((\Bbb R_+^*)^{\Bbb N}\!\quo) \in [\aleph_1,2^{\aleph_0}]$, mais sa valeur est indécidable dans ZFC d'après Wikipédia. Et ${\rm cf}((\Bbb R_+^*)^{\Bbb R_+}\!\quo) \in \,]2^{\aleph_0},2^{2^{\aleph_0}}]$.
11. Les chaînes (sous-ensembles totalement ordonnés) de $(E,\lleq)$ sont totalement discontinues pour la topologie induite par $(E,{\cal T}_\lleqsub)$ et les chaînes maximales sont totalement discontinues pour la topologie de l'ordre induit. Mais je ne sais rien sur la connexité de $(E,{\cal T}_\lleqsub)$, hormis le fait qu'il ne contient aucun connexe par arcs à au moins deux éléments.
12. ${\cal C}^{\infty}\!\quo \,=\, {\cal C}\quo$, mais ${\cal C}\quo$ n'est pas dense dans $({\cal C}_{\rm pm}\quo,{\cal T}_\lleqsub)$, ni ${\cal C}_{\rm pm}\quo$ dans $((\Bbb R_+^*)^{\Bbb R_+}\!\quo,{\cal T}_\lleqsub)$.
13. Les injections du type ${\cal C}\quo \hookrightarrow {\cal C}_{\rm pm}\quo$ et ${\cal C}_{\rm pm}\quo \hookrightarrow (\Bbb R_+^*)^{\Bbb R_+}\!\quo$ sont continues et sont des homéomorphismes sur leurs images pour les topologies ${\cal T}_\lleqsub$.

Maintenant les questions :

1. Quid des fonctions analytiques ? On note $A$ l'ensemble des fonctions $\Bbb R_+ \to \Bbb R_+^*$ analytiques au voisinage de $+\infty$. L'inclusion $A\quo \subset {\cal C}\quo$ est-elle stricte ? C'est-à-dire (par passage au log) : est-ce que, pour toute $f\in{\cal C}(\Bbb R_+,\Bbb R)$, il existe $g:\Bbb R_+ \to \Bbb R$ analytique au voisinage de $+\infty$ telle que $f-g$ est bornée ?
2. Voyez-vous d'autres faits intéressants ou pistes de réflexion ?

Bonne journée

[small]PS: \prec donne $\prec$, \preccurlyeq donne $\preccurlyeq$, \mathrel{\leq\!\!\!\!\;\leq} donne $\lleq$ et \def\lleq{\mathrel{\leq\!\!\!\!\;\leq}} permet d'automatiser la dernière commande en \lleq.[/small]