Matrice par bloc et polynôme caractéristique

Bonjour,

on considère $4$ matrices $A$, $B$, $C$ et $D$ de $\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$. Si $A$ est inversible (hypothèse $h_1$) et commute avec $C$ (hypothèse $h_2$), on a ce joli résultat\[ \det\begin{bmatrix} A&B\\C&D\end{bmatrix} \overset{\small h_1}{=} \det (A)\det(D-CA^{-1}B) \overset{\small h_2}{=} \det(AD-CB)\;.\] Maintenant je souhaite utiliser ce résultat pour calculer le polynôme caractéristique de la matrice $M=\begin{bmatrix} 0&B\\C&D\end{bmatrix}$. Pour cela je construis \[ \chi_M(X) = \det (X I_{2n}-M)=\det\begin{bmatrix} XI_n&-B\\-C&XI_n-D\end{bmatrix}\;.\] et habituellement je vois la matrice $X I_{2n}-M$ comme un élément de $\mathcal{M}_{2n\times 2n}(\mathbb{R}[X])$. Autrement dit, je vois l'indéterminée $X$ comme un élément de l'anneau $\mathbb{R}[X]$. Mais pour pouvoir utiliser le résultat précédent, je dois être en mesure de l'inverser.

Ma question arrive enfin ici : est-ce que pour continuer à avancer je peux froidement passer dans le corps des fractions et donc voir $X$ comme un élément de $\mathbb{R}(X)$ et une fois le calcul terminé constater que j'ai bel et bien affaire avec un polynôme et considérer à nouveau $X$ comme finalement un élément de $\mathbb{R}[X]$.

Je vous remercie par avance pour vos lumières.

Cordialement,

Mister Da