L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Règle et compas sur parabole
dans Géométrie
Bonjour,
Une parabole étant donnée par son tracé, construire son foyer et son axe.
A+
Une parabole étant donnée par son tracé, construire son foyer et son axe.
A+
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Réponses
Personnellement, je détermine dans l'ordre la direction de l'axe, l'axe et le foyer grâce aux propriétés élémentaires (milieux des cordes parallèles, rayon incident parallèle à l'axe, etc.).
Il me semble que cette construction revient à calculer les éléments d'une parabole (axes, foyer, directrice) à partir de l'équation en $x, y$ sans passer par l'équation réduite.
A+
Rayon incident parallèle à l'axe? etc?
C'est un peu court, jeune homme!
Il faut être un peu plus précis!
Amicalement
pappus
Il était bien connu dans les siècles antérieurs que l'isobarycentre de quatre points cocycliques d'une parabole était situé sur son axe.
Donc nos aïeux avaient l'axe!
Comment continuaient-ils?
Amicalement
pappus
A défaut de savoir sans doute la moindre once de géométrie, tu es bien obligé de te réfugier dans un humour machiste qui n'est plus dans l'air du temps
Donc une fois l'axe tracé, ils choisissent deux points $M$ et $N$ sur la parabole.
Ils tracent le milieu $P$ de $MN$ et le projettent orthogonalement en $p$ sur l'axe qu'ils viennent de construire.
D'autre part la médiatrice de $MN$ coupe cet axe en $q$.
Alors le vecteur $\overrightarrow{pq}$ est le vecteur paramètre de la parabole!
Zensuite?
Amicalement
pappus
Je trace deux cordes parallèles, dont les milieux $I, J$ définissent une droite parallèle à l'axe.
La droite $(IJ)$ coupe la parabole en $M$, point à partir duquel je mène la perpendiculaire à $(IJ)$, perpendiculaire qui coupe la parabole en $M'$.
La médiatrice de $MM'$ est l'axe.
Du point $M$ je mène la parallèle aux cordes, donc la tangente en $M$ à la parabole.
Je trace la normale en $M$ à la parabole.
La droite symétrique de la droite $(IJ)$ par rapport à la normale en $M$ coupe l'axe au foyer.
A+
Pour une fois, tu mets les mains dans le cambouis!
Bravo!
Ta construction est évidemment plus simple que la mienne mais il ne faut rien exagérer:
Aujoud'hui les paraboles géométriques sont aussi connues que les évangéliques!
Et comme d'habitude, c'est le vieux pappus qui doit se farcir la corvée de la figure!
Amicalement
pappus
Voici pour mémoire, la fin de ma construction:
$$F=S+\dfrac{\overrightarrow{pq}}2$$
Amicalement
pappus
Autre question : une courbe pour laquelle les isobarycentres de quatre points cocycliques sont alignés est-elle forcément une parabole ?
Commence comme Piteux_gore pour récupérer le centre!
Ensuite tu peux laisser place à ton imagination la plus débordante!
Amicalement
pappus
une autre possibilité pour le foyer
Cordialement
Encore une histoire de défunt point de Frégier!
Amicalement
pappus
On trace un cercle qui coupe l'ellipse en deux points $A$ et $B$. À partir d'un point $I$ de l'ellipse on construit la parallèle au diamètre $AA'$ passant par $I$, qui recoupe l'ellipse en $J$ (je n'ai pas affiché les droites utilisées pour cette construction classique, de façon à alléger la figure).
$IH$ coupe $AJ$ en $P$, $IA$ coupe $HJ$ en $Q$.
Comme le centre $O$ recherché appartient à la droite $PQ$ il ne reste plus qu'à refaire la même construction à partir du diamètre $BB'$, pour obtenir une droite $P'Q'$. On aura alors le point $O$ comme intersection des droites $PQ$ et $P'Q'$.
$25$ droites en tout.
Amicalement,
Ludwig
autre construction du centre d'une ellipse
Cordialement
Ma construction se simplifie lorsqu'on met le centre du cercle sur l'ellipse : $18$ droites au lieu de $25$.
Pour chaque construction du type Poncelet-Steiner, il y a un nombre minimal de droites en-dessous duquel il n'est pas possible de descendre. Trouver une construction avec le minimum de droites est intéressant, car une construction minimale utilisera forcément des propriétés essentielles de la géométrie.
On peut simplifier quelque peu la construction que j'ai donnée.
Je trace deux cordes parallèles, dont les milieux $I, J$ définissent une droite parallèle à l'axe.
La droite $(IJ)$ coupe la parabole en $M$, point à partir duquel je mène la perpendiculaire à $(IJ)$, laquelle coupe la parabole en $M′$.
La médiatrice de $MM′$ est l'axe.
De $M$ je mène la parallèle $(D)$ à l'axe et la parallèle $(T)$ aux cordes, qui est la tangente en $M$.
La droite symétrique de $(D)$ par rapport à $(T)$ coupe l'axe au foyer.
A+