Que vaut $E^0$ ?
Bonjour.
Si $E$ est un ensemble quelconque, que vaut le produit cartésien $E^0$ ?
J'hésite entre $\emptyset$ et $\{\emptyset\}$. Mais les deux me posent un problème métaphysique ...
Pierre
Si $E$ est un ensemble quelconque, que vaut le produit cartésien $E^0$ ?
J'hésite entre $\emptyset$ et $\{\emptyset\}$. Mais les deux me posent un problème métaphysique ...
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Réponses
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
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Oui il faut savoir regarder les cas critiques, mais il faut aussi souvent savoir les ignorer pour se concentrer sur le réel fond et pas sur les parasites.
L'application vide est une application (elle vérifie bien les termes de la définition)
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
De fait je vous concède que j'en fais peu usage et que mon avis est sans doute moins éclairé que le votre, mais pourquoi avoir des discussions interminables sur un sujet vide? Que chacun appelle et définisse le néant comme il l'entend et passons à autre chose!
Je veux dire en L1 (ou DEUG 1ère année pour les anciens). Je ne sais même pas si ce que je dis est une aberration (« l’est pas fou Dom ??? la théorie des ensembles en L1, pffff ?!?! »).
Puis de poser des conventions pour 1, déjà, pour 0, ensuite puis pour les les négatifs enfin…
Je pense qu’au lycée on devrait alors redéfinir ces puissances « algorithmiquement », par récurrence.
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Ce en quoi ils avaient raison ! Car, si le zéro était un nombre comme les autres, on pourrait diviser tout son soûl. Mais un soûl est un soûl, alors on ne le fait pas.
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Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une famille $(x_1, x_2, ... , x_p)$ d'éléments de $E$ est dite libre si :
$\forall (\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_p) \in \mathbb{K}^p \qquad \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_p x_p = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_p = 0$
Le problème est... devinez quoi ? Montrer en utilisant cette définition que la famille vide, c'est à dire $\emptyset$, est libre. Il faut juste utiliser la définition, pas de démonstration du genre $\operatorname{Vect}(\emptyset)=\{0\}$ ou autre considération savante.
Ta réponse, semble dire que la famille vide est libre parce que les $\alpha_i$ sont tous nuls lorsque l'index est vide (c'est à dire lorsque $p=0$). Mais ce n'est pas vraiment cela qui se passe puisqu'il n'y a plus de $\alpha_i$ lorsque $p=0$.
Voici la réponse que je propose. Excuse-moi, j'ai eu la flemme de l'écrire en Latex, c'est un peu difficile pour moi.
Je ne conteste pas la véracité de la réponse de Martimax, je trouve juste qu'elle manque de précision. Il aurait par exemple pu réécrire la définition en y en intégrant le quantificateur $\forall i$ qui n'y figure pas dans mon texte. Si on place ce quantificateur au second membre de l'implication, cela créée, dans le cas où $p=0$, une proposition indécidable au premier membre. Ceci est gênant je trouve. Il serait donc mieux de placer le quantificateur tout au début, cela permet de s'affranchir de la décidabilité des propositions qui suivent, mais cela donne une formulation assez peu élégante. D'où l'idée de remplacer l'implication par sa contraposée, c'est ce que j'ai fait dans ma preuve.
Pour ce qui concerne ma preuve, je crois que tu fais une confusion. Je n'ai pas pris la négation de la proposition (sinon j'aurais eu la définition d'une famille liée). J'ai juste remplacé une implication par sa contraposée. Tu sais en effet que si $P$ et $Q$ sont des propositions logiques :
$(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\bar{Q} \Rightarrow \bar{P)} $ (en notant $\bar{X}$ la proposition contraire de $X$)
Je n'ai mis aucun parenthésage car je ne crois pas qu'il y en ait besoin. En revanche, j'aurais du permuter les deux quantificateurs pour mettre $\forall i \in I$ tout à fait au début, ce serait plus élégant je crois. On sait en effet que deux $\forall$ qui se suivent peuvent être perrmutés.
Dans ton développement (merci beaucoup de l'avoir fait) tu utilises, si j'ai bien compris, le fait qu'une somme vide est nulle. Aurais-tu une justification de cela ? Je ne trouve que des sites sur lesquels on dit que c'est une convention. Mais on peut pas le démontrer ? Par exemple en transformant la somme en une application $f : [\![ 1,n ]\!] \to G$ où $G$ est un groupe ?
C'est vrai que $F \Rightarrow T$ est vrai aussi.
1) les puissances cartésiennes d'un ensemble $A$: $A^n:=A\times ...\times A$,
Le problème entre les différents points de vue sur cette page c'est que vous confondez ces deux notions. Il faut choisir si par $A^n$ vous entendez la puissance cartésienne ou l'ensemble des applications de l'ordinal fini $n$ vers $A$.
En court : pour que la définition de $A^n$ prenne 0 en compte, il faut prendre la définition : $A^n:= Hom(n,A)$, sinon en tant que puissance cartésienne, il faudrait en effet traiter le cas $A^0$ comme une convention car la définition cartésienne ne s'y applique pas.
PS. $0$ (autrement dit $\emptyset$) est un objet initial de la catégorie des ensembles, donc on a $\forall a\exists !h,\ h\in Hom(0,a)$.
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Pour les histoires de sommes sur le vide, tu peux voir $\Sigma $ comme le prolongement de $id_\mathbb R $ en morphisme de monoïdes du monoïde libre de base $\mathbb R $ vers le monoïde $ (\mathbb R ,+,0) $.
Ainsi, on ne fait jamais vraiment de somme sur l'ensemble vide, en réalité, on applique tout simplement $\Sigma $ au "mot vide" du monoïde libre de base $\mathbb R $ et comme $\Sigma $ est un morphisme de monoïdes, cela donnera nécessairement $0$.
Oui, heureusement pour moi, j'ai connu les ordinaux avant de rencontrer l'expression $A^0$, j'ai assez vite compris (après avoir rencontré l'expression) qu'il y avait deux notions utilisées: puissances Cartésiennes et ensembles d'applications d'un ordinal fini vers un ensemble. Et j'ai compris que la plupart des mathématiciens confondaient les deux notions.
Cela dit sans leur manquer de respect. Ce n’est pas l’objet de mon message.
Le problème, c'est qu'on a un système académique qui vise la quantité de production, l'efficacité...l'université n'a pas le temps de travailler les choses dans le fond.
L'école forme des conformistes, et pas tellement l'esprit critique. Si assez tôt dans tes études, tu développe un esprit critique, le système implicite de l'école te le fera payer et te jettera comme une vieille chaussette.
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Je fais simplement mon analyse du monde académique. Je n'impose pas mon opinion, sauf que si j'avais le pouvoir, je changerais la façon dont les universités et les labos traitent les mathématiques.
Il y a une différence entre puissances Cartésiennes et ensembles d'applications d'un ordinal fini vers un ensemble, en effet, ce ne sont pas les mêmes ensembles. Je te conseille de revoir la construction du produit Cartésien et la définition d'une application.
J'ai l'impression que vous m'attaquez, mais je ne vois pas vraiment l'origine de ce conflit, j'ai donné mon opinion sur le monde académique, vous avez le droit de ne pas être d'accord, donnez des arguments plutôt que de vous transformer en psi.
@Médiat_Suprème , ta dernière remarque est fort regrettable, mais bon je t'explique : $A\times A= \{ (x,y)\vert x\in A\wedge y\in A\} $
$Hom(2;A)= \{ f\in \{ 2\} \times \{ A\} \times \mathcal P (2\times A)\vert...\} $
J'espère que tu vois la différence là ?
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"Isomorphisme naturel", je suppose que tu veux dire bijection canonique.
Oui il y a une bijection canonique, cependant cela reste des objets mathématique distincts. Et cette différence est d'autant plus importante qu'elle permet d'expliquer pourquoi certains n'acceptent pas l'expression $A^0$: ce n'est pas défini par les puissances cartésiennes. Du coup travailler avec les puissances cartésiennes partout et soudainement dire que "$A^0$ est un singleton" est arbitraire, il vaut mieux plutôt justifier que par $A^n$ on entend $Hom(n,A)$.
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Au fait, dans quel modèle de ZF travaillez-vous (il y en a plein) ?
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