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Domination asymptotique : ordres & topologies

Bonjour à tous, $\def\preceq{\preccurlyeq}$ $\def\succeq{\succcurlyeq}$ $\def\lleq{\mathrel{\leq\!\!\!\!\;\leq}}$ $\def\lleqsub{{\leq\!\!\leq}}$ $\def\leqinfty{\underset{+\infty}\leqslant}$ $\def\sp{\ \ }$ $\def\quo{/{\small\approx}}$
Une innocente remarque de Poirot m'a mis en tête une drôle de lubie : étudier l'ordre de domination asymptotique sur les fonctions.

Soit ${E}_0 = ( \Bbb R_+^*)^{\Bbb N}$ ou $(\Bbb R_+^*)^{\Bbb R_+}$ ou ${\cal C}(\Bbb R_+,\Bbb R_+^*)$ ou ${\cal C}_{\rm pm}(\Bbb R_+,\Bbb R_+^*)$ (fonctions continues par morceaux, continues à droite ou à gauche en chaque point) ... ou quelque chose du genre. Je note $f\preceq g $ lorsque $ f\underset{+\infty}= O(g)$, $f\approx g$ lorsque $f\preceq g $ et $g \preceq f$, et $f\ll g$ lorsque $f\underset{+\infty}=o(g)$. Alors $\approx$ est une relation d'équivalence et $\preceq $ et $\ll$ passent au quotient en des relations d'ordre sur ${E} :={E}_0/\!\approx$. Les deux couples (relation large, relation stricte) sont $(\preceq ,\prec)$ et $(\lleq,\ll)$. Enfin, je munis $E$ des topologies de l'ordre ${\cal T}_\lleqsub$ et ${\cal T}_\preceq $ dont les intervalles ouverts forment une prébase parce que j'aime bien la topologie. :-)

Que peut-on dire ? Si je n'ai pas commis d'erreur, en vrac :
  1. $\forall f:\Bbb R_+ \to \Bbb R^*, f\approx |f|$ donc il n'est pas restrictif de se limiter aux fonctions positives.
  2. $\preceq $ et $\lleq$ sont des ordres denses : $\forall f \prec g, \exists h, f \prec h\prec g$ et $\forall f \ll g, \exists h, f \ll h\ll g$.
  3. $(E,\preceq )$ est un treillis, mais pas $(E,\lleq)$, et on a $\inf_{\preceq } ([f],[g]) = [\min(f,g)]$ où $[f]$ est la classe de $f$ dans $E$. En revanche, $\ll$ vérifie $\{h \mid h\ll f\ \text{et}\ h\ll g\}=\{h \mid h\ll \min(f,g)\}$ mais pas $\prec$.
  4. $(E,{\cal T}_\preceq)$ est discret.
  5. $(E,\times,{\cal T}_\lleqsub)$ est un groupe topologique abélien séparé non discret. Les intervalles ouverts en sont une base.
  6. Certains sous-ensembles minorés de $E$ n'ont de borne inférieure ni pour $\preceq$, ni pour $\lleq$ (ex : $\{ x\mapsto x^\alpha \mid \alpha >0\}$).
  7. Si $g \prec \cdots \preceq f_2 \preceq f_1 \preceq f_0$, alors il existe $h\in E$ telle que $g \prec h \prec \cdots \preceq f_2 \preceq f_1 \preceq f_0$. Et même résultat dans $(E,\lleq)$.
  8. Aucune suite dans $(E,{\cal T}_\lleqsub)$ n'a de valeur d'adhérence, à moins de prendre une infinité de fois la même valeur. En particulier, seules les suites stationnaires convergent.
  9. Aucun sous-ensemble infini de $(E,{\cal T}_\lleqsub)$ n'est compact. Et aucun sous-ensemble indénombrable de $(E,{\cal T}_\lleqsub)$ n'est séparable.
  10. Tout sous-ensemble dénombrable de $(E,\preceq)$ ou $(E,\lleq)$ est majoré et les cofinalités de $(E,\preceq)$ et $(E,\lleq)$ sont égales. Si les fonctions de $E_0$ sont localement bornées alors ${\rm cf}(E) = {\rm cf}((\Bbb R_+^*)^{\Bbb N}\!\quo) \in [\aleph_1,2^{\aleph_0}]$, mais sa valeur est indécidable dans ZFC d'après Wikipédia. Et ${\rm cf}((\Bbb R_+^*)^{\Bbb R_+}\!\quo) \in \,]2^{\aleph_0},2^{2^{\aleph_0}}]$.
  11. Les chaînes (sous-ensembles totalement ordonnés) de $(E,\lleq)$ sont totalement discontinues pour la topologie induite par $(E,{\cal T}_\lleqsub)$ et les chaînes maximales sont totalement discontinues pour la topologie de l'ordre induit. Mais je ne sais rien sur la connexité de $(E,{\cal T}_\lleqsub)$, hormis le fait qu'il ne contient aucun connexe par arcs à au moins deux éléments.
  12. ${\cal C}^{\infty}\!\quo \,=\, {\cal C}\quo$, mais ${\cal C}\quo$ n'est pas dense dans $({\cal C}_{\rm pm}\quo,{\cal T}_\lleqsub)$, ni ${\cal C}_{\rm pm}\quo$ dans $((\Bbb R_+^*)^{\Bbb R_+}\!\quo,{\cal T}_\lleqsub)$.
  13. Les injections du type ${\cal C}\quo \hookrightarrow {\cal C}_{\rm pm}\quo$ et ${\cal C}_{\rm pm}\quo \hookrightarrow (\Bbb R_+^*)^{\Bbb R_+}\!\quo$ sont continues et sont des homéomorphismes sur leurs images pour les topologies ${\cal T}_\lleqsub$.

Maintenant les questions :
  1. Quid des fonctions analytiques ? On note $A$ l'ensemble des fonctions $\Bbb R_+ \to \Bbb R_+^*$ analytiques au voisinage de $+\infty$. L'inclusion $A\quo \subset {\cal C}\quo$ est-elle stricte ? C'est-à-dire (par passage au log) : est-ce que, pour toute $f\in{\cal C}(\Bbb R_+,\Bbb R)$, il existe $g:\Bbb R_+ \to \Bbb R$ analytique au voisinage de $+\infty$ telle que $f-g$ est bornée ?
  2. Voyez-vous d'autres faits intéressants ou pistes de réflexion ?

Bonne journée

[small]PS: \prec donne $\prec$, \preccurlyeq donne $\preccurlyeq$, \mathrel{\leq\!\!\!\!\;\leq} donne $\lleq$ et \def\lleq{\mathrel{\leq\!\!\!\!\;\leq}} permet d'automatiser la dernière commande en \lleq.[/small]

Réponses

  • Merci side. Je n'avais pas vu ton second ajout.
  • Modifié (27 Jan)
    Bonjour,
    Est-il possible que la modération rétablisse le message de side ? (Parfois @AD dit qu'il n'est pas poli de supprimer des messages et les rétablit.) Je crois qu'il avait donné un lien et j'aimerais le reconsulter. Ou au moins j'aimerais revoir l'énoncé exact du théorème qu'il m'avait donné.
  • Bonjour Calli
    Le problème est que le message de side n'est pas indiqué comme modifié. Je ne trouve aucune trace de cet ancien message :(
    AD
  • Ah d'accord. Le changement de forum a peut-être effacé ces données. Tant pis. Merci @AD.
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