Que vaut $E^0$ ?

PierreCap · January 2022

Bonjour.

Si $E$ est un ensemble quelconque, que vaut le produit cartésien $E^0$ ?
J'hésite entre $\emptyset$ et $\{\emptyset\}$. Mais les deux me posent un problème métaphysique ...

Pierre

Dom · January 2022

Quand c’est comme ça, on revient scrupuleusement aux définitions. On peut aussi regarder « le nombre d’éléments », etc.

Médiat_Suprème · January 2022

$E^0$ est l'ensemble des applications de $0$ dans $E$, il n'y a plus qu'à compter

Martial · January 2022

Il n'y a qu'une seule application de $\emptyset$ dans $E$, c'est l'application vide, donc $E^0=E^{\emptyset} =\{\emptyset\}$.

PierreCap · January 2022

Bonjour, et merci pour vos réponses. J'ai rédigé ce document pour justifié l'égalité $E^0 = E^{\emptyset}$. Qu'en pensez vous ?

Médiat_Suprème · January 2022

Je ne comprends pas ce qu'il y a à justifier, la définition de $0$ est $0=\emptyset$

Soc · January 2022

Je ne suis pas sûr qu'il soit utile ni cohérent de vouloir définir l'application vide. Comme souvent on est dans un simple cas de convention inutile qui a plus de chance d'embrouiller les élèves que de leur apporter quoi que ce soit.

Médiat_Suprème · January 2022

Ce n'est pas une convention, mais une définition générale de $A^B$, et de "Application"

Maxtimax · January 2022

Soc : c'est utile et cohérent. Il y a plein de fois en théorie des ensembles où tu considères un ensemble $A^B$ sans tout à fait comprendre $B$, et en particulier sans savoir si $B$ est vide. Devoir faire plein d'exceptions, alors que tout marche bien sans les faire... ça c'est inutile et pas très cohérent

Soc · January 2022

J'entends, mais souvent chercher à voir ce qu'il se passe pour l'ensemble vide n'apporte pas grand chose, et définir une application qui n'est pas une application c'est dépenser de l'énergie pour pas grand chose. Dans le poly, vouloir parler de [1;n] quand n=0 ne me parait pas forcément cohérent...

Oui il faut savoir regarder les cas critiques, mais il faut aussi souvent savoir les ignorer pour se concentrer sur le réel fond et pas sur les parasites.

Médiat_Suprème · January 2022

Votre message montre que vous n'avez pas une grande expérience de la (des) théorie(s) des ensembles.

L'application vide est une application (elle vérifie bien les termes de la définition)

GaBuZoMeu · January 2022

Bonjour

Remarques pour Soc.

Il n'y a pas à dépenser d'énergie pour traiter le cas spécifique de l'ensemble vide. L'ensemble vide est un ensemble comme un autre, il obéit à la loi commune de tous les ensembles.

Quelle est "l'application qui n'est pas une application" ? L'unique application de l'ensemble vide dans un ensemble $A$, dont le graphe est l'ensemble vide ? Là, tu fais une grossière erreur mathématique, c'est bien une application : revois la définition d'une application ensembliste.

Heureusement qu'en informatique on a la liste vide [ ]. Soc, tu penses vraiment que c'est un parasite ?

Soc · January 2022

Je ne vais pas mener une bataille pour ça... je ne dis pas qu'il est impossible d'étendre les définitions à l'ensemble vide, je dis que souvent on y passe trop de temps pour ce que cela apporte (en même temps, qu'attendre de l'ensemble vide!).

De fait je vous concède que j'en fais peu usage et que mon avis est sans doute moins éclairé que le votre, mais pourquoi avoir des discussions interminables sur un sujet vide? Que chacun appelle et définisse le néant comme il l'entend et passons à autre chose!

GaBuZoMeu · January 2022

Ce sont justement les gens comme toi qui ne se font pas à l'idée que l'ensemble vide est un ensemble comme un autre et qui croient qu'il y a besoin "d'étendre les définitions à l'ensemble vide" qui font perdre ce temps que tu trouves si précieux.

On donne les définitions, et si elles sont correctement pensées il n'y a pas besoin de préciser ce qui se passe pour l'ensemble vide. Basta !

Après, si jamais quelqu'un a peur du vide, il faut le rassurer ... et certains ne se rassurent que très difficilement.

Foys · January 2022

Les définitions en question ne sont pas "étendues à l'ensemble vide" mais déjà générales. C'est le fait de considérer l'ensemble vide comme un objet à part qui amène à introduire des distinctions là où il n'y en avait pas (exactement comme au moyen-âge où les gens pensaient que le nombre zéro méritait un traitement à part. Finalement cette idée a peu à peu disparu et en même temps la pratique de l'algèbre est devenue plus efficace et aussi bien plus simple).

Dom · January 2022

C’est la formation initiale qui a écarté l’ensemble vide des contenus. Je parle pour moi, pour mon cursus où je n’ai jamais croisé cet ensemble sauf pour des choses rudimentaires (ensemble de solutions, intersections naïves, etc.).

Et c’est vrai qu’il est bien difficile ensuite de ne pas appréhender cet ensemble comme un ensemble « à part ».

Je ne sais pas pourquoi on n’a pas enseigné proprement la théorie des ensembles.
Je veux dire en L1 (ou DEUG 1ère année pour les anciens). Je ne sais même pas si ce que je dis est une aberration (« l’est pas fou Dom ??? la théorie des ensembles en L1, pffff ?!?! »).

Ça m’évoque le marronnier de « la puissance $0$ » où je défends l’idée d’une construction empirique des puissances entières au collège (5e-4e) (empirique = à partir de 2, avec l’opération $\times$).
Puis de poser des conventions pour 1, déjà, pour 0, ensuite puis pour les les négatifs enfin…

Ne m’engueulez pas 🤣. Ou alors rouvrez le chapitre dans le forum ancien : il y a eu plusieurs discussions…
Je pense qu’au lycée on devrait alors redéfinir ces puissances « algorithmiquement », par récurrence.

Mais je parle trop : je ne souhaite pas un débat sur ce thème.

Et d’ailleurs ce serait une digression trop forte.

Médiat_Suprème · January 2022

@Dom : Pour en finir avec 0^0 (futura-sciences.com)

Dom · January 2022

Merci.

Je crois que grâce à ce forum (maths.net) je connais tous les points de vue sur ce sujet 🤣

PetitLutinMalicieux · January 2022

Foys a dit :

comme au moyen-âge où les gens pensaient que le nombre zéro méritait un traitement à part.

Ce en quoi ils avaient raison ! Car, si le zéro était un nombre comme les autres, on pourrait diviser tout son soûl. Mais un soûl est un soûl, alors on ne le fait pas.

Médiat_Suprème · January 2022

Argument invalide parce que

On peut diviser par 0, cf. Jesper Carlström
Jusqu'au moyen-âge et même au delà (cerca 1600) 1 n'était pas considéré comme un nombre comme les autres (et on peut facilement diviser par 1)

PierreCap · January 2022

J'ai fini par trouver une solution à mon problème, celui qui m'a conduit à initier ce fil de discussion. Je vais vous le présenter sous forme d'une petite colle. Cela concerne la définition d'une famille libre dans un espace vectoriel, je vous la rappelle :
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une famille $(x_1, x_2, ... , x_p)$ d'éléments de $E$ est dite libre si :
$\forall (\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_p) \in \mathbb{K}^p \qquad \alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_p x_p = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_p = 0$

Le problème est... devinez quoi ? Montrer en utilisant cette définition que la famille vide, c'est à dire $\emptyset$, est libre. Il faut juste utiliser la définition, pas de démonstration du genre $\operatorname{Vect}(\emptyset)=\{0\}$ ou autre considération savante.

Maxtimax · January 2022

Tu as tout à fait raison. Puisque "$\forall i \in \emptyset, \alpha_i = 0$" est vrai quelle que soit $(\alpha)$, quoi qu'on mette avant le "$\implies$", la formule sera vraie.

PierreCap · January 2022

Maxtimax a dit :

Tu as tout à fait raison. Puisque "$\forall i \in \emptyset, \alpha_i = 0$" est vrai quelle que soit $(\alpha)$, quoi qu'on mette avant le "$\implies$", la formule sera vraie.

Bravo tu es sur la bonne piste ;o) Mais essaye d'être plus précis. Il me semble avoir remarqué que dans ce genre de démonstrations, de type ensembliste, il faut avoir avoir de la rigueur dans l'écriture des formules. Tu dois donc réécrire la définition d'une manière un peu différente comme tu le suggères, et surtout l'écrire de manière assez rigoureuse.

JLapin · January 2022

PierreCap a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2328860/que-vaut-e-0
[Inutile de recopier le message initial. Un lien suffit. AD]

Est-ce que le fait de voir $E^0$ comme l'ensemble dont l'unique élément est la liste vide $()$ te pose un problème métaphysique ?

Après tout, $E^p$ est l'ensemble des $p$-uplets...

En tout cas, ce n'est sûrement pas l'ensemble vide puisque $card E^0=1$.

Maxtimax · January 2022

PierreCap : merci pour l'astuce - je te laisse à ton tour voir pourquoi ce que j'ai écrit est tout à fait précis ;-)

PierreCap · January 2022

Bonjour Martimax.
Ta réponse, semble dire que la famille vide est libre parce que les $\alpha_i$ sont tous nuls lorsque l'index est vide (c'est à dire lorsque $p=0$). Mais ce n'est pas vraiment cela qui se passe puisqu'il n'y a plus de $\alpha_i$ lorsque $p=0$.
Voici la réponse que je propose. Excuse-moi, j'ai eu la flemme de l'écrire en Latex, c'est un peu difficile pour moi.

Pierre

Heuristique · January 2022

Ta solution ne marche pas, contrairement à celle de Maxtimax.

La négation d'un $\forall$ est un $\exists$, ta définition de famille libre est donc fausse.

Par ailleurs, ta preuve ne marche pas non plus, car tu as mal parenthésé le $\Rightarrow$

PierreCap · January 2022

Bonjour Heuristique.

Je ne conteste pas la véracité de la réponse de Martimax, je trouve juste qu'elle manque de précision. Il aurait par exemple pu réécrire la définition en y en intégrant le quantificateur $\forall i$ qui n'y figure pas dans mon texte. Si on place ce quantificateur au second membre de l'implication, cela créée, dans le cas où $p=0$, une proposition indécidable au premier membre. Ceci est gênant je trouve. Il serait donc mieux de placer le quantificateur tout au début, cela permet de s'affranchir de la décidabilité des propositions qui suivent, mais cela donne une formulation assez peu élégante. D'où l'idée de remplacer l'implication par sa contraposée, c'est ce que j'ai fait dans ma preuve.

Pour ce qui concerne ma preuve, je crois que tu fais une confusion. Je n'ai pas pris la négation de la proposition (sinon j'aurais eu la définition d'une famille liée). J'ai juste remplacé une implication par sa contraposée. Tu sais en effet que si $P$ et $Q$ sont des propositions logiques :
$(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\bar{Q} \Rightarrow \bar{P)} $ (en notant $\bar{X}$ la proposition contraire de $X$)

Je n'ai mis aucun parenthésage car je ne crois pas qu'il y en ait besoin. En revanche, j'aurais du permuter les deux quantificateurs pour mettre $\forall i \in I$ tout à fait au début, ce serait plus élégant je crois. On sait en effet que deux $\forall$ qui se suivent peuvent être perrmutés.

Heuristique · January 2022

Je me suis sûrement mal exprimé dans ma remarque précédente.

Une famille $(x_i)_{i \in I}$ est libre ssi $\forall \alpha \in \mathbb{K}^I, \left( \sum\limits_{i \in I} \alpha_ix_i = 0 \right) \Rightarrow \left( \forall i \in I, \alpha_i = 0 \right)$.

On appelle $P(\alpha)$ la proposition $\sum\limits_{i \in I} \alpha_ix_i = 0$ et $Q(\alpha)$ la proposition $\forall i \in I, \alpha_i = 0$.

Tu dis, à juste titre, que "$\forall \alpha, ( P(\alpha) \Rightarrow Q(\alpha))$ ssi $\forall \alpha, ( \neg Q(\alpha) \Rightarrow \neg P(\alpha))$.

Là où je ne suis pas d'accord, c'est pour dire que $\neg Q(\alpha)$ est la proposition $\forall i \in I, \alpha_i \neq 0$ car la négation d'un $\forall$ est un $\exists$ : la proposition $\neg Q(\alpha)$ est en réalité $\exists i \in I, \alpha_i \neq 0$.

Je me lance aussi dans une preuve de la liberté d'une famille vide, qui est celle de Maxtimax en plus détaillé.

$(x_i)_{i \in \varnothing}$ est libre ssi $\forall \alpha \in \mathbb{K}^\varnothing, \left( \sum\limits_{i \in \varnothing} \alpha_ix_i = 0 \right) \Rightarrow \left( \forall i \in \varnothing, \alpha_i = 0 \right)$.

La proposition $P(\alpha)$ est vraie car elle revient à $0 = 0$.

La proposition $Q(\alpha)$ est vraie car quantifie universellement sur le vide.

Comme $\top \Rightarrow \top$ est vraie, on en déduit le résultat.

PierreCap · January 2022

Ah oui !! Je me suis trompé. J'aurais du faire plus attention parce que la première définition peut s'énoncer " la seule combinaison linéaire est celle donc tous les coefficients sont nuls " et la contraposée s'énonce donc " Il suffit qu'un coefficient soit non nul pour que la combinaison linéaire soit non nulle ". Ma démonstration est donc fausse. Je suis déçu.

Dans ton développement (merci beaucoup de l'avoir fait) tu utilises, si j'ai bien compris, le fait qu'une somme vide est nulle. Aurais-tu une justification de cela ? Je ne trouve que des sites sur lesquels on dit que c'est une convention. Mais on peut pas le démontrer ? Par exemple en transformant la somme en une application $f : [\![ 1,n ]\!] \to G$ où $G$ est un groupe ?

Heuristique · January 2022

Pour moi, tu as 2 catégories de mathématiciens : ceux qui ont peur du vide et ceux qui le considèrent comme un ensemble normal.

Les premiers utiliseront donc toujours des définitions sur des ensembles non vides, et verront toute chose qui fait appelle au vide comme une convention.

Les seconds définissent les choses sur tous les ensembles.

Voici ma définition de $\sum\limits_{i=1}^n a_i$ par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ :

$\sum\limits_{i=1}^0 a_i = 0$ et $\forall n \in \mathbb{N}, \sum\limits_{i=1}^{n+1} a_i = \sum\limits_{i=1}^n a_i + a_{n+1}$.

Les deux sont des définitions, pas des conventions (ou alors il n'y a pas de différence entre convention et définition).

Si tu as peur de 0, 1 et 2, tu peux écrire que :

$\sum\limits_{i=1}^3 a_i = a_1+a_2+a_3$ et $\forall n \geqslant 3, \sum\limits_{i=1}^{n+1} a_i = \sum\limits_{i=1}^n a_i + a_{n+1}$.

Ensuite, tu ajoutes que, par convention, tu étends ta définition pour $n= 0$, $n=1$ et $n=2$ par $\sum\limits_{i=1}^0 a_i = 0$, $\sum\limits_{i=1}^1 a_i = a_1$ et $\sum\limits_{i=1}^2 a_i = a_1+a_2$.

De toute façon, on définit le même objet. Donc tu choisis la définition que tu préfères.

Le fait qu'une somme vide soit nulle est une définition, de même que la valeur de la somme de 3 termes. Une fois ces définitions posées, on regarde les propriétés de l'objet. Et, si on a pris des définitions intéressantes, l'objet aura des propriétés intéressantes.

Au passage, il n'y a pas besoin dans ma démonstration de savoir qu'une somme vide est nulle. Pour que l'implication soit vraie, il suffit que $Q(\alpha)$ soit vraie.

PierreCap · January 2022

Merci beaucoup Heuristique pour tous ces éclaircissements je suis vraiment ravi. Je vais donc adopter ta définition pour la somme vide

C'est vrai que $F \Rightarrow T$ est vrai aussi.

[Utilisateur supprimé] · February 2022

JLapin a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2338693/#Comment_2338693
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Je pense qu'il faut distinguer deux choses :
1) les puissances cartésiennes d'un ensemble $A$: $A^n:=A\times ...\times A$,

2) et les applications d'un ordinal fini vers $A$: $A^n:= Hom(n,A)$.

$A^0$ n'existe pas en tant que puissance cartésienne, mais il existe en tant qu'ensemble d'applications $A^0:= Hom(0,A)$.
Le problème entre les différents points de vue sur cette page c'est que vous confondez ces deux notions. Il faut choisir si par $A^n$ vous entendez la puissance cartésienne ou l'ensemble des applications de l'ordinal fini $n$ vers $A$.
En court : pour que la définition de $A^n$ prenne 0 en compte, il faut prendre la définition : $A^n:= Hom(n,A)$, sinon en tant que puissance cartésienne, il faudrait en effet traiter le cas $A^0$ comme une convention car la définition cartésienne ne s'y applique pas.
PS. $0$ (autrement dit $\emptyset$) est un objet initial de la catégorie des ensembles, donc on a $\forall a\exists !h,\ h\in Hom(0,a)$.

Médiat_Suprème · February 2022

$A^0$ n'existe pas en tant que puissance cartésienne,

C'est discutable, mais en tout état de cause les seuls qui en souffriront sont quelques diptères de passage.

[Utilisateur supprimé] · February 2022

@Heuristique

Pour les histoires de sommes sur le vide, tu peux voir $\Sigma $ comme le prolongement de $id_\mathbb R $ en morphisme de monoïdes du monoïde libre de base $\mathbb R $ vers le monoïde $ (\mathbb R ,+,0) $.
Ainsi, on ne fait jamais vraiment de somme sur l'ensemble vide, en réalité, on applique tout simplement $\Sigma $ au "mot vide" du monoïde libre de base $\mathbb R $ et comme $\Sigma $ est un morphisme de monoïdes, cela donnera nécessairement $0$.

[Utilisateur supprimé] · February 2022

@Médiat_Suprème
Oui, heureusement pour moi, j'ai connu les ordinaux avant de rencontrer l'expression $A^0$, j'ai assez vite compris (après avoir rencontré l'expression) qu'il y avait deux notions utilisées: puissances Cartésiennes et ensembles d'applications d'un ordinal fini vers un ensemble. Et j'ai compris que la plupart des mathématiciens confondaient les deux notions.

Dom · February 2022

En DEUG première et seconde année, je n’ai jamais eu de cours sur la théorie des ensembles. On travaillait avec des choses naïves « des accolades » et « l’ensemble vide qui ne contient rien ».

Même en Licence (actuelle L3), pas de théorie là-dessus.

Ainsi, ma vidophobie était inculquée dans ma formation.

Je me demande même si tous les profs de fac savaient parfaitement de quoi il retournait…
Cela dit sans leur manquer de respect. Ce n’est pas l’objet de mon message.

[Utilisateur supprimé] · February 2022

@Dom

Le problème, c'est qu'on a un système académique qui vise la quantité de production, l'efficacité...l'université n'a pas le temps de travailler les choses dans le fond.
L'école forme des conformistes, et pas tellement l'esprit critique. Si assez tôt dans tes études, tu développe un esprit critique, le système implicite de l'école te le fera payer et te jettera comme une vieille chaussette.

Médiat_Suprème · February 2022

Nous n'avons pas été dans les mêmes universités, cet argument étant en général utilisé par ceux qui sont à la recherche d'excuses.

Médiat_Suprème · February 2022

Quant à confondre puissance cartésienne et ensemble d'applications, il faut n'avoir pas compris l'un ou l'autre ou les deux pour penser qu'il y a une différence.

[Utilisateur supprimé] · February 2022

@Médiat_Suprème

Je fais simplement mon analyse du monde académique. Je n'impose pas mon opinion, sauf que si j'avais le pouvoir, je changerais la façon dont les universités et les labos traitent les mathématiques.

Dom · February 2022

En effet c’est un poil trop « on m’a cassé alors que j’étais dans mon bon droit ».

Pire ça me fait penser aux Shtameurs qui déroulent sans problème : « j’ai fait une découverte exceptionnelle mais les matheux ne peuvent pas la comprendre ».

[Utilisateur supprimé] · February 2022

@Médiat_Suprème

Il y a une différence entre puissances Cartésiennes et ensembles d'applications d'un ordinal fini vers un ensemble, en effet, ce ne sont pas les mêmes ensembles. Je te conseille de revoir la construction du produit Cartésien et la définition d'une application.

[Utilisateur supprimé] · February 2022

@Médiat_Suprème @Dom ,
J'ai l'impression que vous m'attaquez, mais je ne vois pas vraiment l'origine de ce conflit, j'ai donné mon opinion sur le monde académique, vous avez le droit de ne pas être d'accord, donnez des arguments plutôt que de vous transformer en psi.

@Médiat_Suprème , ta dernière remarque est fort regrettable, mais bon je t'explique : $A\times A= \{ (x,y)\vert x\in A\wedge y\in A\} $
$Hom(2;A)= \{ f\in \{ 2\} \times \{ A\} \times \mathcal P (2\times A)\vert...\} $

J'espère que tu vois la différence là ?

Dom · February 2022

Non, non, ce n’est pas une attaque.

Le passage sur l’esprit critique m’étonne cependant.

En maths mieux qu’ailleurs, je ne vois pas où l’idéologie peut se pointer.

Je ne suis pas dupe sur le fait qu’il y ait des choix économiques et politiques sur certaines choses (crédits accordés ici et là) mais pour les études L1/L2 j’avoue naïvement croire qu’on ne formate pas les étudiants SAUF à savoir rédiger d’une manière académique, oui. Mais ça me semble essentiel.

Je parle de ma formation des années 2000+/-2 ans.

Médiat_Suprème · February 2022

Igbinoba a dit :

@Médiat_Suprème Je te conseille de revoir la construction du produit Cartésien et la définition d'une application.

Merci de vos conseils, non seulement je connais ces définitions (suffisamment pour noter qu'une de vos définitions est "bizarre"), mais en plus je sais voir un isomorphisme naturel quand j'en vois un.

[Utilisateur supprimé] · February 2022

@Médiat_Suprème
"Isomorphisme naturel", je suppose que tu veux dire bijection canonique.
Oui il y a une bijection canonique, cependant cela reste des objets mathématique distincts. Et cette différence est d'autant plus importante qu'elle permet d'expliquer pourquoi certains n'acceptent pas l'expression $A^0$: ce n'est pas défini par les puissances cartésiennes. Du coup travailler avec les puissances cartésiennes partout et soudainement dire que "$A^0$ est un singleton" est arbitraire, il vaut mieux plutôt justifier que par $A^n$ on entend $Hom(n,A)$.

Médiat_Suprème · February 2022

Ben si, c'est parfaitement défini !

Médiat_Suprème · February 2022

Il y a plus de 50 définitions de $\mathbb R$ qui correspondent chacune à des ensembles différents, et pourtant '"c'est la même chose" (on ne fait pas 50 démonstrations pour chaque théorème)

[Utilisateur supprimé] · February 2022

Si tu ne précise pas la construction de $\mathbb R $ que tu utilises alors tu utilises une construction quelconque et de ce fait, tes démonstrations sont bonne pour chaque construction. Mais deux ensembles distincts ne sont pas égaux, est-ce qu'on peut au moins se mettre d'accord là dessus ? ...