Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont)
Quadrilatère inscrit, triangle et somme de sinus
dans Géométrie
Bonjour,
Soient le cercle trigonométrique de diamètre $AOB$ et le quadrilatère inscrit $ACBD$, de diagonales $AB$ et $CD$ ; on pose $\angle BOC = 2a, \angle BOD = 2b$.
Démontrer que $\sin {(a+b)} = \sin a \cos b + \sin b \cos a$.
Démontrer la même formule à l'aide d'un triangle $ABC$.
A+
Soient le cercle trigonométrique de diamètre $AOB$ et le quadrilatère inscrit $ACBD$, de diagonales $AB$ et $CD$ ; on pose $\angle BOC = 2a, \angle BOD = 2b$.
Démontrer que $\sin {(a+b)} = \sin a \cos b + \sin b \cos a$.
Démontrer la même formule à l'aide d'un triangle $ABC$.
A+
Réponses
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Bonjour à tous
C'était une configuration archiconnue autrefois.
Aujourd'hui, c'est une autre musique!
Le théorème de Ptolémée, qui s'est donné beaucoup de mal pour pas grand chose, a disparu depuis belle lurette!
La trigonométrie est-elle seulement encore enseignée?
Amicalement
pappus
-
Bonjour à tous
Essayons avec le triangle $ABC$
$BC=2\sin(A)=2\sin(180°-B-C)=2\sin(B+C)$
$AB=2\sin(C)$, $AC=2\sin(B)$
$BA'=AB\cos(B)=2\sin(C)\cos(B)$
$A'C=AC\cos(C)=2\sin(B)\cos(C)$
Et finalement:
$BC=BA'+A'C$
Amicalement
pappus
-
RE
Ces deux preuves sont plus simples que celle que l'on trouve (trouvait) en général dans les manuels.
On peut, à mon avis, les caser dans une bonne classe de 3ème ou 2de.
A+Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont) -
Bonsoir
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On a pour le sinus de la différence :
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RE
Il y a encore plus simple pour déterminer le sinus de la somme :
$a = c \cos(B) + b \cos(C)$
$\sin(A) = \sin(C) \cos(B) + \sin(B) \cos(C)$ (car les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés)
$\sin(B+C) = \sin(C) \cos(B) + \sin(B) \cos(C)$
J'espère que ce raisonnement n'est pas circulaire, car j'ai oublié comment on montre que le sinus du supplémentaire est égal au sinus de l'angle.
A+Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont) -
RE
Réflexion faite, la démonstration me semble valable.
Comme elle concerne les angles d'un triangle, il faut traiter le cas des autres angles ; ce n'est pas compliqué.
A+Dominant de cent coudées les philosophes des lumières, Sade fut le penseur le plus pénétrant de son temps. (Lautréamont)
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Bonjour!
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