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Fonction périodique définie par une série

Modifié (26 Jan) dans Analyse
Bonjour,
Soit $x \in \R \setminus \Z$, que vaut $\ \displaystyle \sum_{k\in \Z} \frac{1}{(x+k)^2}\ $ ? Comment la calculer ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Modifié (27 Jan)
    C'est pas tout à fait ça etanche. Cela ressemble au cas particulier d'une fonction spéciale genre Lerchphi et ici plutôt Hurwitzzeta

    Edit: je n'avais pas lu l'article pointé par etanche jusqu'au bout. Mea culpa.
  • Modifié (26 Jan)
    Salut marco,$\def\dist{\mathrm{dist}}$
    Montrons que cette série converge uniformément sur les compacts de $\Bbb C\setminus\Bbb Z$. Soit $K\subset \Bbb C\setminus\Bbb Z$ compact. Il existe $R>0$ tel que $K\subset D(0,R)$. Donc : $\forall n>R, \forall z\in K,$  $$\left|\sum_{|k|>n} \frac1{(z+k)^2} \right| \leqslant \sum_{|k|>n} \frac1{\dist(z,k)^2} \leqslant \sum_{k>n} \frac1{\dist(R,k)^2} +\sum_{k<-n} \frac1{\dist(-R,k)^2} =2\sum_{k>n} \frac1{|R-k|^2}\underset{n\to\infty}\longrightarrow 0.$$
    Ok. Ainsi, $f:z\in\Bbb C\setminus\Bbb Z\mapsto \sum\limits_{k\in\Bbb Z} \frac1{(z+k)^2}$ est holomorphe sur $\Bbb C\setminus\Bbb Z$. Posons $g:z\in\Bbb C\setminus\Bbb Z\mapsto f(x)-\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)}$. Alors : $\forall k\in\Bbb Z$, $$g(z)\underset{z\to k}= \frac1{(z-k)^2} - \frac{\pi^2}{[\pi(z-k)+O((z-k)^3)]^2} =\frac1{(z-k)^2} O((z-k)^2) = O(1).$$ Donc $g$ peut-être prolongée en une fonction holomorphe sur $\Bbb C$. De plus, $\forall a\in[0,1], \forall b\in\Bbb R$, $$\begin{eqnarray*}
    |g(a+ib)| &\leqslant& \sum_{k\in\Bbb Z} \frac1{b^2+(a+k)^2} + \frac{\pi^2}{|\sin(\pi(a+ib))|^2} \\
    &\leqslant& \sum_{k=0}^\infty \frac1{b^2+k^2} + \sum_{k=-\infty}^{-1} \frac1{b^2+(1+k)^2}+ \frac{4\pi^2}{(e^{\pi|b|}-e^{-\pi|b|})^2} (*) \\ &\underset{|b|\to\infty}\longrightarrow& 0
    \end{eqnarray*}$$ (limite uniforme en $a$). Donc $g$ est bornée sur $[0,1]\times\Bbb R$. Donc par 1-périodicité, elle est bornée sur $\Bbb C$. Donc elle est constante. Et la limite nulle précédemment établie montre que $g\equiv 0$. Donc : $\forall z\in \Bbb C\setminus\Bbb Z,$ $$\sum_{k\in\Bbb Z} \frac1{(z+k)^2} = \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)}.$$

    $(*)$ $|\sin(\pi(a+ib))| = \left|\frac{e^{\pi(ia-b)}-e^{\pi(-ia+b)}}2\right| \geqslant\frac{||e^{\pi(ia-b)}|-|e^{\pi(-ia+b)}||}2 = \frac{e^{\pi|b|}-e^{-\pi|b|}}2$ par inégalité triangulaire.
  • bonjour, le mot clé içi est "Herglotz trick"; voir Raisonnements Divins De Aigner et Ziegler chez Springer ou bien le livre de Henri Cartan sur les fonctions holomorphes chez Hermann
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Modifié (26 Jan)
    Merci beaucoup pour les réponses. Le même raisonnement doit fonctionner pour montrer $\sum_{k \in \Z} \frac{1}{(x+k)^{2n}}= \frac{\pi^{2n}}{\sin^{2n}(\pi x)}$. On doit alors pouvoir calculer $\zeta(2n)$ en utilisant l'égalité ci-dessus en $x=\frac{r}{n}$ avec $r \in \{1,2,\dots,n-1\}$, et donc trouver une relation entre les nombres de Bernouilli et les $\frac{1}{\sin^{2n}(r\pi/n)}$ ?
  • Modifié (26 Jan)
    Le même raisonnement n'a pas l'air de marcher pour les puissances plus élevés car, si on  pose $g:z\in\Bbb C\setminus\Bbb Z\mapsto$ $\sum\limits_{k\in\Bbb Z}\frac1{(z+k)^{2n}} - \frac{\pi^{2n}}{\sin^{2n}(\pi z)}$ avec $n>1$, on a : $\forall k\in\Bbb Z$, $$g(k+\varepsilon)\underset{\varepsilon\to0}=\frac1{\varepsilon^{2n}}-\frac{\pi^{2n}}{(\pi\varepsilon-\frac16\pi^3\varepsilon^3+o(\varepsilon^3))^{2n}} = \frac1{\varepsilon^{2n}}\left( \frac{2n}6\pi^2\varepsilon^2+o(\varepsilon^2) \right) \neq O(1)$$ si pas d'erreur de calcul.
    D'un autre côté, $\Big(\sum\limits_{k\in\Bbb Z}\frac1{(z+k)^2}\Big)^2$ a peu de chances d'être égal à $\sum\limits_{k\in\Bbb Z}\frac1{(z+k)^4}$ à cause des termes en $\frac1{(z+k)^2(z+\ell)^2}$ quand on développe le produit.
  • marco
    pour calculer les sommes avec des puissances plus élevées il suffit de dériver.
  • Merci Calli et Jandri.
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