Problème de Cauchy
Bonjour,
on a le problème de Cauchy suivant $$y'=-y^2,\quad y(1)=1.$$
Cette équation est non linéaire à variables séparées et on trouve que la solution générale de l'équation est $y(x)=\dfrac{1}{x+c}$, où $c$ est une constante quelconque. Donc $y(1)=1$ implique que $c=0$ et du coup, la solution de ce problème de Cauchy est $y(x)=\dfrac{1}{x}$.
Le souci est que je lis que cette solution est définie sur $]0,+\infty[$. Pourtant elle a l'air d'être définie sur $\R^{\star}$.
Ma question est pourquoi le domaine de définition de cette solution est $]0,+\infty[$ au lieu de $\R^{\star}$ ?
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
Quand on fait des équations différentielles, généralement, on ne considère que des solutions définies sur un intervalle. C'est arbitraire mais c'est motivé par le fait que si le domaine d'étude se décompose en plusieurs intervalles disjoints, il suffit d'étudier l'équation différentielle sur chaque intervalle. Si au contraire, on ajoute un autre intervalle disjoint ($]-\infty,0[$ en l'occurrence) au domaine d'étude, on peut définir $y$ d'une infinité de façon sur ce deuxième intervalle, donc on perd l'unicité (il faut donner une autre condition du type $y(x_0)=y_0$ dans le deuxième intervalle).
$f$ définie par,
si $x>0$, $f(x)=\dfrac{1}{x}$
Si tu regardes la preuve de ta formule $\frac1{x+c}$, la constante $c$ provient d'une primitivation. Donc elle n'est constante que sur chaque intervalle du domaine de définition. C'est pour ça qu'il peut y avoir sur $]-\infty,0[$ une constante $c$ différente de sur $]0,\infty[$.
Encore un autre ensemble : $]0 \, ; \, 0,5[\cup ]0,8\, ; \,2]$ où l’on peut bricoler, etc.
Par contre, attention dans notre cas précis le dénominateur est $x+c$.
$y(x)=1/x$ sur $]0,+\infty[$
et
$y(x)=1/(x+c)$ sur $]-\infty,0[$
enfin, le théorème de Cauchy-Lipschitsz nous donne l’existence et l’unicité sur un intervalle ouvert contenant $x_0=1$. Donc l’unicité est uniquement sur $]0,+\infty[$.
On tombe bien sur $]0;+\infty[$.
Pour tout couple $(t_0, y_0)$ dans $\Omega$, il existe un unique intervalle ouvert $I$ contenant $t_0$ et une unique fonction $y$ (dite maximale) définie sur $I$ vérifiant l'équation différentielle $(E) : \quad y'(t)=f(t, y(t))$ sur l'intervalle $I$ et la condition initiale $y(t_0)=y_0$.
Les autres solutions de cette équation différentielle vérifiant cette même condition initiale sont toutes des restrictions de cette solution maximale.
Ici, la solution $x\mapsto \frac{1}{x}$ définie sur $I=\left]0,+\infty\right[$ est la solution maximale vérifiant la condition initiale $y(1)=1$.
Le fait de prolonger cette fonction sur un intervalle disjoint de $I$ ne répond pas à la question.
Ce n'est plus dans le cadre du théorème ni dans le cadre de la résolution d'un problème de Cauchy !
Le résultat caché derrière la résolution est qu’une fonction dérivable sur un intervalle de dérivée nulle est constante.