Ensemble algébrique ?
Bonjour,
Je m'interroge sur l'exercice suivant. L'ensemble $V=\{(t, \sin t) \in \mathbb A_2( \mathbb R) \mid t \in \mathbb R \}$ est-il algébrique ?
Voici ma solution.
$I(V)=\{P \in \mathbb R [X,Y] \mid P(t, \sin t)=0,\ \forall t \in \mathbb R \}$. On peut écrire $P=P_1+P_2$, avec $P_1 \in \mathbb R [X]$ et $P_2=Y Q_2$ avec $Q_2 \in \mathbb R [X,Y]$.
On a : $\forall t=k \pi,\ k \in \mathbb Z,\ 0=P(t, \sin t)=P_1(t)$, donc $P_1$ a une infinité de racines, donc $P_1=0$. Alors $I(V) \subset (Y)$.
Donc $V(Y) \subset V(I(V))$. Or $V(Y) \not \subset V$ (car par exemple $(1,0) \in V(Y)$ mais $\notin V$), donc $V(I(V) \ne V$, donc $V$ n'est pas algébrique.
Mes questions.
1) N'y a-t-il pas une solution plus simple, algébrique ou analytique ?
2) Par ailleurs, il me semble assez évident que $I(V)=0$, et qu'on peut le montrer de manière analytique, en faisant tendre $t$ vers $\infty$ par exemple (je suis un peu rouillée de ce côté-là).
Merci d'avance.
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