Démonstration non comprise

Endomorphisme · January 2022

Bonjour, il s'agit de prouver l'existence des racines n-ièmes.
Voici une partie de la démonstration ci-dessous.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/9t/a3hxzla27vvv.png

Je ne comprends pas l'encadré en rouge.
A la base, $\alpha$ est un élément de $]0,1[$ puis après l'auteur affirme qu'il existe $\alpha$ tel que...
Quand le minimum des deux nombres réels vaut 1, cela veut dire que $\alpha$ peut prendre une valeur supérieur à 1 alors qu'il est dans $]0,1[$.

Heuristique · January 2022

L'auteur fait une sorte de raisonnement par analyse-synthèse dans sa preuve.

Son but est de trouver $\alpha$ tel que $(b+\alpha)^n \leqslant a$. Il prend donc un $\alpha \in ]0,1[$ quelconque et cherche une condition pour assurer $(b+\alpha)^n \leqslant a$ (phase d'analyse).

Une fois cette condition trouvée, il choisit un $\alpha$ la vérifiant (l'encadré rouge).

Il vérifie enfin que le $\alpha$ qu'il a choisi fonctionne bien (phase de synthèse).

L'auteur mêle donc preuve et réflexion au brouillon en même temps : cela peut paraître bizarre mais permet au lecteur de mieux comprendre d'où viennent les bornes qu'il utilise.