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Démonstration non comprise

Modifié (26 Jan) dans Analyse
Bonjour, il s'agit de prouver l'existence des racines n-ièmes.
Voici une partie de la démonstration ci-dessous.

Je ne comprends pas l'encadré en rouge.
A la base, $\alpha$ est un élément de $]0,1[$ puis après l'auteur affirme qu'il existe $\alpha$ tel que...
Quand le minimum des deux nombres réels vaut 1, cela veut dire que $\alpha$ peut prendre une valeur supérieur à 1 alors qu'il est dans $]0,1[$.

Réponses

  • Modifié (26 Jan)
    L'auteur fait une sorte de raisonnement par analyse-synthèse dans sa preuve.
    Son but est de trouver $\alpha$ tel que $(b+\alpha)^n \leqslant a$. Il prend donc un $\alpha \in ]0,1[$ quelconque et cherche une condition pour assurer $(b+\alpha)^n \leqslant a$ (phase d'analyse).
    Une fois cette condition trouvée, il choisit un $\alpha$ la vérifiant (l'encadré rouge).
    Il vérifie enfin que le $\alpha$ qu'il a choisi fonctionne bien (phase de synthèse).
    L'auteur mêle donc preuve et réflexion au brouillon en même temps : cela peut paraître bizarre mais permet au lecteur de mieux comprendre d'où viennent les bornes qu'il utilise.
  • Modifié (26 Jan)
    Merci Heuristique !
    Le choix de la même lettre ($\alpha$) m'a perturbé mais je vois où tu veux en venir.
  • Pourquoi cette démonstration ? Le théorème des valeurs intermédiaires est plus rapide !
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