Une partie entière toujours paire

Sara1993
Sara1993
Modifié (January 2022) dans Arithmétique
Bonjour
L’énoncé consiste à prouver que $\ \Big[ \dfrac{(n-1)!}{n(n+1)} \Big]\ $ est toujours paire. Sachant que $[x]$ désigne la partie entière de $x$. 
J’ai essayé la récurrence mais je suis restée bloquée au milieu . Merci de m’aider. 

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    (Ça ne va pas aider !) Cette suite est fichée.
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Modifié (January 2022)
    Bonjour,
     L'idée d'une démonstration dans le cas $n$ et $n+1$ non premier et $n$ suffisamment grand (première occurence à 8) n'est pas trop dure à trouver, dans ce cas, $\frac{(n-1)!}{n(n+1)}$  est un entier, et il est pair. Dans le cas où l'un des deux est premier, j'en sais rien, mais pour $n$ suffisamment grand, on se doute que la "partie décimale" sera de forme (edit, j'avais écrit une erreur là:) $\frac{p-1}{p}$ où $p$ est le nombre premier parmi $n$ et $n+1$ (mais je ne crois pas que cette information soit pertinente, en tout cas, moi, je ne sais pas quoi en faire).
  • noix de totos
    noix de totos
    Modifié (January 2022)
    On suppose $n \geqslant 5$.

    Si $n=p$ est premier : 

    (i) vérifier que le nombre $N := \dfrac{(p-1)!}{p+1}$ est un entier pair ;

    (ii) vérifier que $p$ divise $N+1$ (théorème de Wilson), et donc que $\dfrac{N+1}{p}$ est un entier impair et conclure.

    Dans le cas où $n+1=p$ est premier, même argument en remplaçant $N$ par $M := \dfrac{(p-2)!}{p-1}$.
  • Sara1993
    Sara1993
    Pardon, mais je n’arrive toujours pas à voir pourquoi si n ou n+1 est premier N est pair et M est pair. Puis-je avoir plus d’indications, merci.
  • noix de totos
    noix de totos
    Si, par exemple, $n=p \geqslant 5$ premier, comme $p+1 = 2 \times \frac{p+1}{2}$, on en déduit que $p+1$ divise $(p-1)!$ et donc $N$ est entier, qui est pair car divisible par $p-1$.
  • Sara1993
    Sara1993
    Modifié (January 2022)
    Merci beaucoup pour votre explication, je vois plus clair maintenant. 
  • noix de totos
    noix de totos
    De rien. À noter pour ceux que ça intéresse (Chaurien, Gebrane, Etanche, etc), ce problème provient de Asia Pacific Mathematical Olympiad (APMO) 2004. Voir : https://omec-mat.org/wp-content/uploads/2016/11/APMO-2004-Sol-Eng.pdf
  • gebrane
    gebrane
    Modifié (January 2022)
    @noix de totos  Comment sais-tu que je suis attentivement ce fil ? :smiley:J’espère que @sarra va nous donner une rédaction de cet exercice.
    Le 😄 Farceur


  • noix de totos
    noix de totos
    Gebrane : je viens ici assez peu souvent, mais suffisamment pour penser que tu suis attentivement (quasiment) tous les fils.   B)
  • gebrane
    gebrane
    Je ne sais pas comment je vais prendre cela
    Le 😄 Farceur


  • noix de totos
    noix de totos
    Modifié (January 2022)
    Je ne vois pas comment on pourrait prendre ça autrement que comme un compliment.

    Faut pas toujours voir du négatif là où il n'y en a pas.
  • Al-Kashi
    Al-Kashi
    Modifié (January 2022)
    Bonjour
    Une autre manière de faire  est d'écrire, si $n$ est premier :
    $\ \Big[ \dfrac{(n-1)!}{n(n+1)} \Big]=\Big[ \dfrac{(n-1)!}{n}-\dfrac{(n-1)!}{n+1} \Big]=\Big[ \dfrac{(n-1)!+1}{n}-\dfrac{(n-1)!}{n+1}-\dfrac{1}{n} \Big]$.
    Et si $n+1$ est premier, en remarquant dans ce cas (d'après le théorème de Wilson) que $(n-1)! \equiv 1 \mod(n+1)$ :
    $\ \Big[ \dfrac{(n-1)!}{n(n+1)} \Big]=\Big[ \dfrac{(n-1)!}{n}-\dfrac{(n-1)!}{n+1} \Big]=\Big[ \dfrac{(n-1)!}{n}-\dfrac{(n-1)!-1}{n+1}-\dfrac{1}{n+1} \Big]$.
    Al-Kashi
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 36

CidrolinDomLucasMatricule_63math2mtho5pozzarvpf +28 Invités